Vektoranalysis
Inhaltsverzeichnis
Vorwissen .................................................................................................................................... 1
Der Schrankensatz in
............................................................................................................... 1
Der Fixpunktsatz für Kontraktionen .............................................................................................. 2
Ableiten und invertieren ............................................................................................................... 2
Von der Analysis in
in die Vektoranalysis ................................................................................. 4
Der lokale Umkehrsatz .................................................................................................................. 4
Der Satz über implizite Funktionen ............................................................................................... 7
Der Untermannigfaltigkeitsbegriff ................................................................................................ 7
Wie der Tangentialraum ein erstes Mal ins Spiel kommt ............................................................. 9
Der einbettende Raum
wird verlassen ................................................................................... 11
Der Mannigfaltigkeitsbegriff ....................................................................................................... 11
Differenzierbare Abbildungen ..................................................................................................... 13
Der Tangentialraum .................................................................................................................... 16
Differentialformen ..................................................................................................................... 23
Alternierende Formen ................................................................................................................. 23
k-Formen ..................................................................................................................................... 24
Einsformen (auch Pfaffsche Formen) .......................................................................................... 25
Das Integral ................................................................................................................................ 27
Die Orientierung .......................................................................................................................... 27
Auf einer Mannigfaltigkeit integrieren ....................................................................................... 28
Berandete Mannigfaltigkeiten .................................................................................................... 33
Der Satz von Stokes .................................................................................................................... 38
Die -Formen kommen ins Spiel ...................................................................................... 38
Der Satz ....................................................................................................................................... 40
Alles wird komplizierter! ............................................................................................................ 43
Das Dachprodukt ......................................................................................................................... 43
Beweis des Stokes’schen Satzes .................................................................................................. 48
Die Vektoranalysis der Physiker .................................................................................................. 50
Anhang ...................................................................................................................................... 52
Quellen ...................................................................................................................................... 56
1
Vorwissen
Der Schrankensatz in
Die Norm einer linearen Abbildung
ist
und
.
Diese Norm besitzt die Eigenschaft, dass
.
Der Dualraum
liefert reellwertige lineare Abbildungen während deren Argumente von
geliefert werden; diese Rollen von
und
lassen sich aber auch vertauscht ansehen
1
. Deswegen
können wir die Norm auf
folgenderweise schreiben:
und
.
Dieser seltsame Ausdruck einer Norm in
wird uns ermöglichen, den verallgemeinerten
Schrankensatz zu beweisen, während sich im reellen Fall der Schrankensatz mithilfe vom Satz von Rolle
vergleichsweise einfach beweisen lässt.
Behauptung (Schrankensatz): Seit eine differenzierbare Abbildung auf einem offenen Gebiet
mit Werten in
. Falls , gilt dann
.
Beweis: Wir wenden den oben eingeführten Ausdruck einer Norm an:
und
Dabei ist eine reellwertige Funktion, für welche der mithilfe vom Satz von Rolle im reellen Fall
bewiesene Schrankensatz gilt: Es gibt einen mit
. Und da eine lineare Abbildung ist, gilt
.
Substituierung (erste Zeile der unten stehenden Entwicklung) und Anwendung der Eigenschaft der
Norm einer linearen Abbildung (zweite Zeile) ergeben:
und
und
Dabei gilt
für ein zusammenhängendes Gebiet , das
sowohl als auch beinhaltet. Die Behauptung ist somit bewiesen. □
1
Die Standardbasis
des Dualraums
wird nämlich durch die Standardbasis
von
eineindeutig durch
definiert, wobei
das Kronecker-Symbol ist.
können wir mit dem
Standardskalarprodukt als
ansehen. Geben wir uns einmal dieses Skalarprodukt auf
, wird
dann jede duale Abbildung
von einem Vektor
bestimmt, indem sich
als
schreiben
lässt. In diesem Skalarprodukt spielt der gegenüber dem keine bevorzugte Rolle und wir können also ebenfalls
jeder dualen Abbildung
einen
eindeutig zuordnen. Somit ist aber selbst eine Funktion.
2
Bemerkung: Dieser Beweis macht Gebrauch von zwei unterschiedlichen Normen einer linearen
Abbildung, während der Beweis von Konrad Königsberger in: Analysis 2 nur die Maximumsnorm
anwendet – dafür aber einen mathematischen Trick, von dem man sich lange fragen kann, wie man
auf die Idee kommt. Dabei ist die Anwendung mehrerer Normen wegen der Äquivalenz der Normen
ganz korrekt.
Der Fixpunktsatz für Kontraktionen
Kontraktionen
Definition: Sei ein metrischer Raum. Eine Abbildung heisst Kontraktion, wenn es
eine Zahl gibt, so dass für alle ,
.
Weiter werden wir
für die Metrik
schreiben.
Beispiel: Sei eine kompakte konvexe Menge. ist eine Kontraktion, (genau dann) wenn
und
gilt. Da konvex ist, darf man nämlich den Schrankensatz anwenden.
Der Fixpunktsatz
Behauptung: Sei eine Kontraktion. Es gibt genau einen Punkt mit
.
Beweis: Existenz: konvergiert die rekursive Folge
denn sie ist eine Cauchy-
Folge
2
:
. Eindeutigkeit: Seien zwei Fixpunkte…
Definition: Die Funktion ist ein Diffeomorphismus, wenn sie eine Umkehrfunktion besitzt und beide
stetig differenzierbar – also
-Funktionen – sind.
Ableiten und invertieren
Sei ein Diffeomorphismus. Für die Umkehrfunktion von gilt
und
. Setzen wir . Ableiten ergibt
respektive
. In der
Matrizendarstellung (bezüglich Basen
3
) heisst es
respektive
.
Wenn wir nur den dimensionalen Aspekt dieser zwei Matrizengleichungen betrachten, können wir
daraus nicht schliessen, dass die Matrizen
und
zwei zueinander inversen linearen
Abbildungen sind. Die Identitätsmatrizen
und
könnten nämlich unterschiedliche Dimensionen
haben und die Matrizen
und
eine - respektive eine -Matrix sein. Dass
und
Quadratmatrizen sind, kommt daraus, dass die Identitätsmatrix eine invertierbare Matrix
2
Konvergenzkriterium von Cauchy: sodass
. In unserem Fall,
. Wir
wählen also derart, dass
, denn für diesen gilt:
. Somit ist
bewiesen, dass
eine Cauchy-Folge ist. Zu jedem haben wir nämlich einen passenden gefunden.
3
Die Funktion
ist ein Endomorphismus vom Tangentialraum
an der Stelle y und
dieser Tangentialraum ist zu einem
isomorph. Tangentialräume werden in den nächsten Seiten ausführlich
behandelt. „bezüglich Basen“ heisst also „bezüglich zwei Basen von
“.
3
ist. Repräsentiert nämlich eine invertierbare Matrix eine Funktion, die sich als Verknüpfung zweier
linearen Funktionen darstellen lässt, sind dann die Matrizen dieser zwei Funktionen ebenfalls
invertierbar. Aus der Tatsache, dass
und
Quadratmatrizen derselben Dimension sind,
folgt, dass die Identitätsmatrizen
und
dieselbe Dimension haben. Wir können also
schreiben und erst daraus schliessen, dass die Matrizen
und
zwei
zueinander inversen linearen Abbildungen sind. Es gilt
und
.
Diese Tatsache wird im Zusammenhang mit dem in den nächsten Seiten eingeführten Begriff des
Tangentialvektors in der Form
angewendet. Diese Umschreibung des
Ausdrucks
bietet die willkommene Wahl, sich mental entweder die Ableitung einer
Umkehrfunktion oder die Umkehrfunktion einer Ableitung vorzustellen. Was fällt einem leichter?
4
Von der Analysis in
in
die Vektoranalysis
Der lokale Umkehrsatz
Sei eine
-Funktion. In der Ausgangslage ist nur bekannt, dass das Differential
an
jeder Stelle
ein Isomorphismus ist. Wir zeigen, dass eine
-Umkehrfunktion besitzt,
dass also ein Diffeomorphismus ist.
Wir geben uns einen y und wollen ihm ein Urbild zuordnen. Mit anderen Worten: wir wollen den x
finden, so dass die Gleichung
stimmt. Wie können wir den Fixpunktsatz für diese Aufgabe
anwenden? Wir müssen eine Kontraktion
derart definieren, dass
. Wir
betrachten deshalb
. Was fehlt aber, damit
eine Kontraktion ist? Wir
merken zuerst, dass
eine Funktion von nach und also nicht mal von einem topologischen Raum
in sich selbst ist. Zudem muss
in einer konvexen Umgebung streng kleiner als 1 sein. Diese zwei
Anforderungen werden der Zweck einer ersten Korrektur von der Definition von
sein. Diese
konvexe Umgebung muss darüber hinaus von
in sich selbst abgebildet werden. Dies wird der Zweck
einer zweiten Korrektur sein.
Zur ersten Korrektur: Anstelle von betrachten wir die Funktion
. Diese Funktion, die von der freien Wahl eines Punktes
abhängt, ist eine Funktion von
X nach X, was eine notwendige Eigenschaft für unsere Kontraktion ist. Eine nächste Eigenschaft von
ist, dass
. Wählen wir einen . Für
ist der Wert
Null
an der Stelle und ist wegen der Stetigkeit von in einer kompakten Kugel
vom Radius r
um 0 streng kleiner als 1. In dieser kompakten Kugel
gilt
.
Zur zweiten Korrektur: Die Funktion
ist dann eine Kontraktion, vorausgesetzt, dass
eine
Funktion von
in sich selbst ist. Dies stellt die Frage: für welche y ist
eine solche Funktion? Für
alle y in
? Dass
in der Kugel
sein soll, bringt uns dazu, die Ungleichung zu schreiben:
Somit haben wir
mit einem Ausdruck majoriert, welcher nur von
und
abhängt.
Wählen wir x und y zum Beispiel mit
respektive
, befindet sich zwar
in
,
jedoch nicht unbedingt in der kleineren Kugel von Radius
. Es kann also gut sein, dass sich dann die
5
zweite Iteration
ausserhalb von
befindet. Angesichts dieses Problems soll deshalb eine
gute Majorisierung von
so sein, dass wir x wohl überall in der Kugel
und nicht nur in einem
Teil davon wählen dürfen. Erst dann können wir sagen, für welche x und y der Betrag von
kleiner
als r ist und daraus richtig schlussfolgern,
sei eine Funktion von
in sich selbst.
Möchten wir
anstatt
wählen dürfen, wo müssten wir dann y wählen? Mit der
Ungleichung lässt sich keine zufrieden stellende Lösung finden. Können wir vielleicht durch eine
Verallgemeinerung abschwächen, um dann eine Lösung zu finden? Sicher können wir es, indem wir r
nicht als fest gegeben betrachten, sondern variieren lassen. In diesem Fall sollten wir nicht lediglich y
für einen festen r suchen, sondern beide y und r suchen, damit
gilt.
Wählen wir einen kleineren r als Radius der Kugel, können wir anstatt den Faktor 2 in der Ungleichung
einen kleineren Faktor betrachten und hoffen, dass es dann aufgeht. Weil jedoch
in
jeder Kugel
gilt, muss grösser als 1 sein.
Somit schauen wir uns die Sache abstrakter an: anstatt
in der Ungleichung
betrachten wir
. Dabei
4
soll die Zahl derart sein, dass es eine Fraktion
von
r gibt, die sowohl
als auch
genügt. Die erste Anforderung besagt, dass y nur
innerhalb einer kleinen Kugel um 0 gewählt werden darf, die zweite Anforderung, dass x in der ganzen
Kugel
gewählt werden darf. Bringen wir diese Informationen zusammen:
Die letzte Ungleichung schränkt die Wahl von umso stärker ein, wenn der Ausdruck
umso
kleiner ist und das ist der Fall, wenn
und
maximal sind. Da
und
verlangt
wird, ist r der maximal mögliche Wert von
und
derjenige von
. In diesem Fall beträgt
den Wert
. Unser darf also überall gewählt werden, wo die Bedingung
erfüllt
ist, was äquivalent zur Bedingung
ist.
Leider ist die Bedingung
mit derjenigen, dass grösser als 1 sein muss, unverträglich. Diese
Tatsache bedeutet, dass die Ungleichung zu restriktiv ist, auch wenn man den Radius r frei wählen
darf. Es wird einem schnell klar, dass sich die Ungleichung nicht anpassen lässt. Manchmal ist es
mit den Ungleichungen so, dass sie zu „grosszügig“ gemacht werden. Das rechte Glied
ist zwar grösser als das linke Glied der Ungleichung , jedoch auch zu gross um vom
Nutzen zu sein. Um überhaupt eine Ungleichung zu bekommen, war also die Anwendung der
Dreiecksungleichung auf das linke Glied zu radikal. Wie können wir sonst eine Ungleichung mit
als kleineres Glied schreiben? Wie wäre es mit:
4
ist von r bestimmt. Wegen der Stetigkeit von
können wir aber die Sache umgekehrt betrachten und
zuerst den frei wählen, da es für jeden einen r gibt so, dass
gilt. Deshalb dürfen wir
mit dem anfangen.
6
Diese Ungleichung ist weniger „grosszügig“ als . Denn
ist kleiner als
.
Anstatt können wir also Folgendes schreiben
5
:
, wobei
.
Von dem her können wir
kleiner als
und
kleiner als wählen. Wenn der
Radius r der Kugel
so festgelegt wird, dass
, dürfen wir sogar x in der ganzen Kugel
wählen und behaupten,
sei eine Funktion von
in sich selbst. Somit haben wir unsere Kontraktion
vollständig definiert.
Ferner ordnen wir jedem y mit
den Fixpunkt von
zu. Lokal um haben wir auf diese
Weise eine Umkehrfunktion
von
definiert. Daraus entnehmen wir leicht die Umkehrfunktion
von um die Stelle
. Es bleibt zu zeigen, dass diese Umkehrfunktion stetig ist.
□
Zurück zu unserer eine
-Funktion . Jetzt wissen wir, dass das Differential
an jeder
Stelle x ein Isomorphismus ist und dass eine stetige Umkehrfunktion vorhanden ist. Wir
zeigen, dass stetig differenzierbar ist.
Wir schreiben die Differenzierbarkeit von in x folgenderweise:
.
Wir versuchen dann, das Pendant für die Differenzierbarkeit von in zu schreiben. Dabei
nehmen wir als Pendant von h den Wert
.
6
Wir prüfen schlussendlich, dass der
Rest die Bedingung eines Restes wirklich erfüllt:
Der Rest ist also
. Bleibt zu prüfen:
.
Und da die Ableitung eine Zusammensetzung stetiger Funktionen ist, ist auch sie stetig.
□
5
Es ist klar, dass eine Anwendung des Schrankensatzes auf die einzige Methode ist, die Funktion
loszu-
werden und ein rechtes Glied der Ungleichung mit nur noch
und
zu bekommen. Die Anwendung der
Dreiecksungleichung auf
ist es aber, die die Funktion
erscheinen lässt, und wir wissen jetzt, dass
damit keine brauchbare Ungleichung entsteht. Auf
wenden wir die Dreiecksungleichung also nicht.
Eine Funktion gibt es dann trotzdem, die wir loszuwerden haben, nämlich
. Es liegt dann nahe, den
Schrankensatz anzuwenden, um diese Funktion loszuwerden.
6
Es gilt nämlich
(zu zeigen). Wir haben also
und
auch
.
7
Der Satz über implizite Funktionen
Wir fragen nach der Lösbarkeit von (nach y oder x) in der Nähe einer Nullstelle von
. Zuerst betrachten wir den Fall . Der Anfangsbereich hat nicht dieselbe Dimension wie
der Endbereich und kann demzufolge nicht umkehrbar sein. Würden wir aber statt die Funktion
betrachten, könnten wir uns fragen, wie sein sollte, damit umkehrbar ist. Dank des lokalen
Umkehrsatzes reicht es, sich zu fragen, wie sein sollte, damit ein Isomorphismus ist:
. Diese Matrix hat Dimension 2, genau dann wenn
.
Für den allgemeinen Fall
haben wir:
.
Man sieht es bei der oben liegenden Matrix: Damit im allgemeinen Fall ein Isomorphismus
ist, damit also die Matrix quadratisch von Dimension ist, muss surjektiv sein.
ist dann lokal umkehrbar und es gibt die Umkehrung , die die selbe Bauart hat wie :
.
Es gilt also:
.
□
Der Untermannigfaltigkeitsbegriff
Die Methoden der Analysis sind primär für Funktionen der Form gedacht worden und lassen
sich auf Funktionen der Form
erweitern. Allgemein auf Funktionen der Form
erweitern, wobei die
und
Teilmengen von sind und das Produkt das
Kreuzprodukt ist. Viele Mengen entsprechen aber der Form
gar nicht. Denken wir z.B. an den
Einheitskreis
und allgemein an eine Fläche. Wir möchten trotzdem Funktionen zwischen
Flächen untersuchen können. Damit wir die Methoden der Analysis anwenden können, müssen wir
zuerst die Flächen und flach machen, d.h. in die Form
bringen.
8
Definition: Eine Menge eines topologischen Raumes heisst d-dimensionale Untermannigfaltigkeit
von , wenn es zu jedem Punkt eine Umgebung , eine Umgebung in irgendeinem
und ein Diffeomorphismus gibt, so dass gilt:
, wobei
.
Die Funktion heisst eine Karte von um den Punkt a. Wir können ohnehin annehmen, dass immer
für den topologischen Raum der euklidische Raum
steht. Dass ein Diffeomorphismus ist, heisst,
dass für jeden a invertierbar ist. Wie können wir für eine gegebene Fläche eine Karte finden?
Die Idee lernen wir hier in der Darstellungsform eines Beispiels kennen.
Beispiel: Der Graph einer Funktion ist eine Untermannigfaltigkeit. Wir betrachten nämlich die Karte
. Die Dimension ist dabei die des Raumes, wo der Punkt x lebt.
Die Idee hinter dieser einfachen Formel ist grundlegend für alle Untermannigfaltigkeiten. Denn diese
entsprechen mindestens lokal einem Graphen: wenn auf der Umgebung eine Karte von
definiert ist, ist sie dann die Karte eines Graphen. Wir werden es mit dem nächsten Beispiel sehen.
Behauptung: Wenn eine Untermannigfaltigkeit ist, so auch , mit ein Isomorphismus.
Definition: Ein Punkt heisst ein regulärer Punkt von , wenn das Differential
surjektiv ist. Ferner heisst ein Punkt ein regulärer Wert von , wenn alle
reguläre
Punkte sind. Ansonsten sprechen wir von singulären Punkten und singulären Werten.
Beispiel und Behauptung: Die Niveaumenge eines regulären Werts ist eine Untermannigfaltigkeit.
Beweis: Wir betrachten allgemein eine
-Funktion
. Die allgemeine Form der Funktion
ist
, eventuell mit
, was dann heissen würde, dass
. Die
Niveaumenge von einem
entspricht deshalb
und wir können das Ergebnis über
die impliziten Funktionen anwenden, wenn wir die zwei Annahmen treffen, dass
und dass
surjektiv ist. Die Funktion
ist dann lokal invertierbar mit Umkehrfunktion
und es gilt
, zusammenfassend: jeder Punkt von
ist auch Punkt eines Graphen, was
aus
eine Untermannigfaltigkeit macht. Soweit so gut. Kann man aber diese zwei Annahmen
schwächen?
Diese zwei Anforderungen reduzieren sich auf eine: die Funktion
muss surjektiv sein.
können wir nämlich immer gleich m setzen. Warum denn?
Weil eine lineare Funktion ist, ist die Einschränkung von auf
ein
Isomorphismus. Es gilt:
. Wir können deshalb folgende
Zerlegung des Definitionsbereichs betrachten:
. Die Funktion
ist ein Isomorphismus, weil der
Wertebereicheine direkte Summe ist.
9
Für mit
und gilt dann
und die Funktion hat die gewünschten Eigenschaften.
□
Beispiel einer eindimensionalen Untermannigfaltigkeit des
: der Einheitskreis
(als Niveaumenge
von
für das Niveau 1).
Die Graphen und die Urbilder von regulären Werten differenzierbarer Funktionen sind zwei Quellen
von Untermannigfaltigkeiten. Wenn wir uns bereits mehrere Untermannigfaltigkeiten geben, können
wir auch versuchen, aus diesen neue zu definieren. So gibt es zwei Untermannigfaltigkeiten
hervorbringende Prozesse, nämlich das Bilden von Summen und dasjenige von Produkten. Unter einer
Summe zweier Untermannigfaltigkeiten verstehen wir deren disjunkte Vereinigung. Eine Karte dieser
Summe ist eine bestehende Karte von der einen oder der anderen Untermannigfaltigkeit. Und als
einfachstes nichttriviales Beispiel eines Produktes haben wir den Torus
. Eine Karte ist dabei ein
Diffeomorphismus der Form , welcher mit notiert wird und wobei und
Karten von respektive der ersten und der zweiten Untermannigfaltigkeit sind.
7
Wie der Tangentialraum ein erstes Mal ins Spiel
kommt
Betrachten wir eine Funktion zwischen zwei Untermannigfaltigkeiten. kann z.B. der
Einheitskreis
sein und eine Ellipse. Nur bezüglich Karten können wir diese Funktion mit den
Werkzeugen der Analysis untersuchen. Diese Werkzeuge können wir nämlich primär nur an
Funktionen der Form
anwenden, wobei die
und
Teilmengen von sind, und
weder der Kreis noch die Ellipse haben die Form
.
Wir können also lediglich
untersuchen (die Flachmachung von ), wobei die Wahl der
Karten und selbstverständlich eine Rolle spielt. Die Fragestellung lautet deshalb: Wie können wir
eine Kartenunabhängige Untersuchungsmethode für die Funktion finden, damit wir Aussagen über
selbst machen können?
Das Differential
entspricht wegen der Kettenregel folgender Verknüpfung linearer
Abbildungen:
. Was bringt uns dieser Sachverhalt? Die
Funktion lässt sich zwar selbst nicht direkt untersuchen, diese Anwendung der Kettenregel zeigt uns
jedoch, dass sich wohl ihr Differential an der Stelle
separat betrachten lässt. Wir können
nämlich als eine Funktion mit Anfangsbereich
, gleich also
8
,
7
Wir unterscheiden von ; das erstere Objekt ist eine Funktion zwischen zwei Kreuzmengen (d.h.
zwischen zwei Mengen von Paaren) während das letztere ein Paar von Funktionen und selbst also keine
Funktion ist.
8
Siehe Seite 3: Es gilt nämlich
für
.
10
wobei d die Dimension der Karte ist, und Endbereich
,
wobei c die Dimension der Karte ist, ansehen. Die obige Fragestellung wird deshalb: Dürfen wir
vergessen, dass p für
steht?
Die Antwort: Ja. Vorausgesetzt, das Differential ist wohldefiniert: für zwei beliebige Paaren
und
mit
muss die Funktion
dieselbe sein,
wie
. Insbesondere müssen beide Funktionen dieselben Anfangs- und Endbereiche
haben. Weil Differentiale lineare Abbildungen sind, folgt aus dieser Bedingung, dass
und
auf demselben Vektorraum leben müssen. Wenn wir also wohl definieren
möchten, sollen wir zuerst einen Weg finden, den Anfangs- und den Endvektorraum kartenunabhängig
zu definieren.
Für die differenzierbare Funktion und für eine d-dimensionale Karte um
müssen also die zwei Mengen
, für , Teilmengen des
Anfangsvektorraums der linearen Abbildung sein. Und weil diese Mengen gleich wie
sind und also Vektorräume sind, müssen sie Untervektorräume
vom Anfangsvektorraum der Abbildung sein. Nun ist es so, dass diese zwei Untervektorräume
in Wirklichkeit ein und derselbe Untervektorraum
9
sind. Und weil die zwei Karten
und
für
beliebige zwei Karten stehen, ist dieser Untervektorraum gleich dem gesamten Anfangsvektorraum
von .
Wir nennen diesen Anfangsvektorraum den Tangentialraum von am Punkt p und notieren
. Für
den Endvektorraum machen wir die gleiche Überlegung. Wir nennen ihn den Tangentialraum von
am Punkt und notieren
. Wir haben also
.
9
Das Differential des Kartenwechsels
bei ist eine Abbildung
. Dasjenige von
bei
, , ist eine Abbildung
. Aus
folgt
die Behauptung.
11
Der einbettende Raum
wird verlassen
Der Mannigfaltigkeitsbegriff
Eine originale Konstruktion
Der Untermannigfaltigkeitsbegriff kommt von der Aufgabe, Funktionen zwischen Flächen, welche der
Form
(die
sind Teilmengen von ) nicht entsprechen, trotzdem analytisch zu untersuchen.
Es wird ein Kartenbegriff entwickelt, welcher eine offene Teilmenge des die Fläche einbettenden
euklidischen Raums mit einer offenen Teilmenge eines gleichdimensionalen euklidischen Raums
diffeomorph verbindet. Die Karte einer Untermannigfaltigkeit ist nämlich eine invertierbare Funktion
mit folgender Form:
, wobei d die Dimension der Untermannigfaltigkeit ist. Die
Forderung, dass die durch die Karte diffeomorph verbundenen Teilmengen offen sind, stellt sicher,
dass diese Teilmengen die „gleiche Dimension“ haben wie der ganze Raum, von dem sie eine
Teilmenge sind
10
und somit dass die Karte lokal einem Diffeomorphismus
entspricht. Karten
lassen sich dann mittels derselben Idee wie für die Flachmachung eines Graphen konkret angeben. Die
Einbettung der Fläche in einem euklidischen Raum entspricht der Notwendigkeit, dass die Karte eine
Funktion der Form
ist, wobei die
und
Teilmengen von sind, wenn diese
Karte konkret angegeben werden muss.
Können wir uns überhaupt einen anderen Kartenbegriff vorstellen? Können wir einen
Diffeomorphismus zwischen einer Fläche und einem
definieren – ganz ohne Einbettung?
Idee: Anstatt Punkte p der Fläche können wir Tangentialräume
betrachten. Der Tangentialraum
an einem Punkt beschreibt nämlich, wie sich die nächsten Punkte bezüglich dieses Punktes
positionieren. Machen wir eine Analogie. Sind die Punkte Perlen auf einer Kette, können wir die
Zusammensetzung der ganzen Kette auf zwei Weisen erfahren, je nach dem, was wir zuerst kennen.
Kennen wir die Position jeder Perle, haben wir selbstverständlich auch die Zusammensetzung der
ganzen Kette. Kennen wir für jede Perle die relative Position der Perle, die sich unmittelbar an ihrer
linken Seite befindet sowie diejenige der Perle, die sich unmittelbar an ihrer rechten Seite befindet,
können wir die Kette Perle nach Perle rekonstruieren. In dem letzten Fall haben wir die Menge der
Perlen mit einer Ordnung versetzt und die Position jeder Perle ergibt sich durch ihre Verkettung mit
der vorigen Perle.
Der Vorteil dieser Vorstellung ist, dass ein Tangentialraum mit einem
isomorph ist. Diese Tatsache
können wir versuchen zu gebrauchen, wenn wir einen Diffeomorphismus zwischen einer Fläche und
einem
definieren möchten.
10
Die gleiche Dimension im folgenden Sinn: Wenn n die Dimension des euklidischen Raums ist, ist dann das n-
Volumen einer Teilmenge ungleich Null, diese Teilmenge also bezüglich diesem Mass keine Nullmenge ist.
12
Es gilt
. Der Ausdruck
ist also die Richtungsableitung
11
von
in der Richtung und an der Stelle . Und der Tangentialraum
ist die
Menge aller möglichen Richtungsableitungen von
an der Stelle :
. Und folgende Menge
entspricht
einer Kette in der früheren Analogie. Diese „Kette“ lässt sich auch als die Funktion
ausdrücken. Wir sehen es: die ganze Fläche
12
wird von folgender Menge beschrieben (die Fläche ist
dann auf einem einzigen Kartengebiert ( definiert):
.
ist klar ein Vektorraum; ist aber mit einem
isomorph? Wir setzen voraus, dass die lineare
Abbildung
für jeden p den konstanten Rang d hat. Betrachten wir dann die Abbildung
. Sie ist linear mit
. Die Abbildung
ist also die gesuchte
Karte und wir haben einen Weg gefunden, die Fläche ganz ohne einbettenden euklidischen Raum zu
definieren und dann flach zu machen.
… Ganz ohne? Der Tangentialraum
wird doch mittels einer Karte definiert, welche einen die Fläche
einbettenden euklidischen Raum voraussetzt. Würden wir aber einen Weg finden, den Tangentialraum
auf eine andere Weise zu definieren, hätten wir es wirklich geschafft. Die Suche nach einem neuen
Tangentialraumbegriff wird weiter thematisiert; zuerst aber sollen wir erklären, warum wir mit
eingebetteten Flächen nicht ganz zufrieden sind.
Warum suchen wir einen Kartenbegriff ohne einbettenden
euklidischen Raum?
Summen und Produkte von Untermannigfaltigkeiten sind immer noch Untermannigfaltigkeiten. Der
Tangentialraum von einer Summe an einem gegebenen Punkt ist der Tangentialraum von derjenigen
Untermannigfaltigkeit, auf welcher dieser Punkt lebt. Der Tangentialraum vom Produkt zweier
Untermannigfaltigkeiten
am Punkt
ist die direkte Summe der Tangentialräume
. Der Tangentialraum eines Quotienten einer Untermannigfaltigkeit
13
hat i.a. keine
geometrische Bedeutung mehr. Es gibt sogar „Flächen“, die gar nicht als eingebettete Flächen in einem
verstanden werden oder, besser, verstanden werden müssen. Nicht jede „Fläche“ wird nämlich
primär in folgender Form definiert:
, bei der sie klar als
Teilmenge eines
verstanden wird. Denn manche „Flächen“ werden anders konstruiert (denken wir
an die Quotientenbildung). Zwecks Untersuchung mit den Werkzeugen der Analysis müssen auch diese
11
Sei eine Funktion mit
. Es sei daran erinnert, dass zwar ein Punkt in
ist, jedoch
auch eine (Richtungs-)Ableitung. Es gilt nämlich
. Das sieht man leicht für
einen Vektor
der Standardbasis. Diese Ableitung ist die Funktion
.
12
Die Form der Fläche aber nicht ihre Position in einem einbettenden
. Dieser spielt aber gar keine Rolle,
wird sogar ignoriert. Man spricht dann von einer „Fläche an sich“.
13
Denken wir an dem reellen projektiven Raum: siehe Jänich, Vektoranalysis, Seite 16.
13
Flächen flach gemacht werden können. Im Weiteren wird der Begriff einer „Fläche an sich“ entwickelt,
dies im Gegensatz zu einer in einem euklidischen Raum verstandenen eingebetteten Fläche.
Definitionen
Definition: Sei ein topologischer Raum. Unter einer n-dimensionalen Karte für versteht man einen
Homöomorphismus . Dabei heisst U das Kartengebiet. Wir notieren die Karte
mit , wobei die Bezeichnung für das Kartengebiet mitgeführt wird.
Seien
und
zwei n-dimensionalen Karten für . Die Funktion
heisst der Kartenwechsel von nach . Im Weiteren wird
angenommen, dass alle Karten Diffeomorphismen der Klasse
sind.
Definition: Eine Menge n-dimensionaler Karten, deren Kartengebiete ganz überdecken, heisst ein n-
dimensionaler Atlas für . Der Atlas heisst differenzierbar, wenn alle Karten differenzierbar
miteinander wechseln.
Zwei Atlanten sind äquivalent, wenn auch differenzierbar ist. Betrachten wir die
Menge aller Karten, die mit allen Karten von differenzierbar wechseln. Die Elemente von
wechseln dann auch untereinander differenzierbar (Kartenwechsel von nach mittels Hilfskarte aus
, gleiche Methode wie für den Nachweis der Transitivität der Äquivalenzrelation) und ist ein
maximaler Atlas für X. ist die Vereinigung aller Atlanten der Äquivalenzklasse . Beide
enthalten dieselbe Information; hat jedoch den Vorteil, wenigstens noch ein Atlas zu sein. Daher
die Definition:
Definition: Unter einer n-dimensionalen differenzierbaren Struktur für einen topologischen Raum
verstehen wir einen maximalen n-dimensionalen differenzierbaren Atlas (auch möglich: eine
Äquivalenzklasse).
Definition: Unter einer n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit verstehen wir ein Paar
, wobei ein Hausdorffraum ist, der zusätzlich das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, und eine
differenzierbare Struktur für ist. Die Struktur wird in der Notation unterdrückt und man spricht
einfach von der Mannigfaltigkeit , wie analog von einer Gruppe G oder einem Vektorraum V.
Differenzierbare Abbildungen
Anpassung der Grundbegriffe
Auf einer Mannigfaltigkeit sei eine Abbildung irgendwohin (sagen wir nach ), gegeben,
deren Verhalten in der Nähe eines Punktes wir studieren wollen. Dann können wir eine Karte
um p wählen und die Abbildung damit herunterholen, d.h.
betrachten. Von allen
Eigenschaften, die
lokal bei hat, sagt man dann, habe sie bei p bezüglich der Karte
. Wenn diese Eigenschaft unabhängig von der Wahl der Karte ist, dann sagen wir, habe diese
Eigenschaft bei p.
14
Definition: Eine Funktion heisst bei p differenzierbar (
), wenn für eine (dann jede!) Karte
um p die heruntergeholte Funktion
in einer Umgebung von differenzierbar ist.
Ist eine stetige Funktion zwischen Mannigfaltigkeiten, gilt dann: für alle und jede
Karte um gibt es eine Karte um p mit .
Definition: Eine stetige Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten nennt man einen
Diffeomorphismus, wenn sie bijektiv ist mit und
beide differenzierbar.
Der Rang
Wenn wir mit einer konkreten Funktion arbeiten müssen, wenn wir eine ganz konkrete Matrix
ermitteln wollen, hilft uns der Mannigfaltigkeitsbegriff nicht, sondern nur der Begriff einer
Untermannigfaltigkeit.
Sei ein Diffeomorphismus zwischen einer j-dimensionalen und einer k-dimensionalen
Untermannigfaltigkeit. Die j-dimensionale Untermannigfaltigkeit sei in einem
und die k-
dimensionale Untermannigfaltigkeit in einem
eingebettet. Die Ableitung an der Stelle x der durch
die Karte heruntergeholten Funktion ist:
. Sie ist
eine lineare Funktion von
bis
. Ihre Matrix (bzgl. Basen) heisst die Jacobi-Matrix von der
heruntergeholten Funktion an der Stelle x :
.
Die Jakobi-Matrix hängt von der Wahl der Karte ab; ihr Rang jedoch nicht (denn die Kartenwechsel sind
Diffeomorphismen). Der Rang hängt auch nicht von der Wahl der Basen von
und
ab
14
.
Wir können deshalb vom Rang der Funktion sprechen.
Definition: Der Rang von bei
wird dann als der Rang von definiert.
Definition: Ein Minor einer Matrix ist die Determinante einer Untermatrix dieser Matrix, die durch
Wegstreichen von ganzen Zeilen und Spalten dieser Matrix entsteht.
Eine Matrix hat genau dann den Rang r, wenn es einen von Null verschiedenen Minor der Ordnung r
gibt und wenn alle Minoren der Ordnung > r verschwinden
15
.
Wenn
, ist die Determinante von eine reelle stetige Funktion von x.
14
Die Wahl der Basis von
wird jedoch prinzipiell nicht geändert: die Karte wäre sonst keine Karte mehr!
Eine Karte ist nämlich ein Flachmacher und bildet deshalb lokal eine Fläche in einem Raum, in dem jeder Vektor
die Form
hat. Ein Basiswechsel würde diese Form i. Allg. vernichten. Eine Karte ist deshalb
für eine bestimmte Basiswahl eines
definiert.
15
Siehe Algèbre linéaire I, Serge Lang, Seite 200.
15
Der Satz vom konstanten Rang
Der folgende Satz ist die Grundlage für die Anwendung der sogenannten lokalen Koordinaten in der
Physik.
Hat die differenzierbare Abbildung in einer Umgebung von konstanten Rang r, so ist
sie bezüglich geeigneter Karten lokal um p von der Form
wenn und die Dimensionen von und sind.
Beweis
Schritt 1: Der Rang von im Punkte p beträgt r. Das impliziert, dass die Determinante eines
bestimmten Minors der Ordnung r ungleich Null ist, was bedeutet, dass es r Spaltenvektoren gibt, die
linear unabhängig sind. Diese Spaltenvektoren kann man durch eine neue Indizierung der
Basisvektoren von
links in der Matrix bringen. Analog kann man durch eine neue
Indizierung der Basisvektoren von
die Zeilenvektoren oben in der Matrix bringen. Die Stetigkeit
der Determinante sichert, dass es für alle q in einer Umgebung von p stets dieselben ersten r
Spaltenvektoren der Matrix , respektive dieselben ersten r Zeilenvektoren sind, die linear
unabhängig sind, und dass also diese zwei Indizierungen der Basisvektoren von
und
nicht
nur im Punkte p sondern in einer Umgebung von p gelten
16
.
Schritt 2: Wir zerlegen
und
folgenderweise (r ist lokal der Rang von um p):
und
. Einen Punkt von
schreiben wir als
und einen Punkt von
als . Die Funktion zerlegen wir ebenfalls:
.
Schritt 3: Wir wissen, dass ein Diffeomorphismus
eine Karte für
den Graphen von ist, wenn eine differenzierbare Funktion mit Werten in
ist. Wenn wir
erreichen, dass lokal um p
1) , d.h. die Identität ist und
2) von w nicht abhängt, d.h.
,
dann können wir
setzen und wir haben eine r-dimensionale Karte von :
.
Den ersten Punkt erfüllen wir durch einen Koordinatenwechsel: Mit dem Satz über implizite
Funktionen können wir aus
schlussfolgern, dass . Die Funktion
ist ein Koordinatenwechsel (v wird durch den gleichdimensionalen y ersetzt).
Die Funktion j ist umkehrbar, weil surjektiv abbildet ( ist ein Isomorphismus). Wir berechnen
für diese neuen Koordinaten:
16
Eine neue Indizierung der Basisvektoren ist ein spezieller Basiswechsel, also ein Diffeomorphismus.
16
. Weil aber , hat man, dass
. Und weil der Rang von
r ist, muss
Null sein. Die Matrix
hat nämlich den Rang r, weil den Rang r hat.
Wir haben also Koordinaten von
gefunden, für die , und von w nicht abhängen.
Die Funktion
ist also eine Karte von . Die Funktion ist eine Karte
für , weil die Punkte 1) und 2) erfüllt sind. Für diese Karten gilt:
.
□
Der Tangentialraum
Wie wir es bereits gesehen haben, müssen wir einen Weg finden, den Tangentialraum ohne Hilfe eines
die Fläche einbettenden euklidischen Raums zu definieren. Es gibt drei mögliche Fassungen des
Tangentialraums, die diese Anforderung erfüllen. Siehe Jänich, Vektoranalysis für eine ausführliche
Darstellung dieser drei Fassungen sowie für den Beweis ihrer Äquivalenz. Nur so viel zum Thema:
Wir suchen eine Charakterisierung eines Tangentialvektors von
, welche ihn eindeutig beschreibt.
Ein Tangentialvektor ist für uns bis jetzt immer noch ein Element
, für eine Karte
um mit
und für
. Es gilt:
Der letzte Ausdruck ist die Ableitung der Kurve
an der Stelle . Wir
haben
. Der betrachtete Tangentialvektor
ist also gleich der Ableitung der Kurve
an der Stelle . Somit wird jeder Tangentialvektor einer Kurve zugeordnet. Jede Kurve , die
auf einer -Umgebung von p mit
läuft, ist auf dieser Umgebung das Bild einer Kurve in
.
Diese letzte Kurve läuft mit einer Ableitung durch den Punkt
. Deshalb können wir sagen,
dass die Ableitung jeder auf einer -Umgebung von p mit
laufenden Kurve die obige Form
besitzt und somit ein Tangentialvektor von
ist. Dadurch dass ihre Ableitung an der stelle
einem Tangentialvektor entspricht, wird jede Kurve einem Vektor zugeordnet. Wir schussfolgern: die
Vektorenmenge
und die Menge der auf einem -Umgebung von p differenzierbar definierten
Kurven mit
sind zwei Menge, die sich in einer mehreindeutigen Relation, d.h. in einer -
Relation, befinden. Durch einer Quotientierung der Menge der Kurven gelingt es uns, die
Vektorenmenge mit einer Quotientenmenge in eine eineindeutige Relation zu bringen. Auf diese
Weise bekommen wir eine Fassung eines Tangentialvektors als Äquivalenzklasse von Kurven, die auf
durch p laufen.
Bemerkung: Obwohl der erste Schritt dieser Konstruktion die Festlegung einer Karte um p ist, spielt
die Wahl der Karte gar keine Rolle. Eine Kurve ist nämlich ein auf lebendes Wesen, das von keiner
17
Karte abhängt. Die Frage nach der Karte spielt erst eine Rolle, wenn wir eine Kurve herunterholen
wollen. Aber eine Kurve und eine ihrer vielen möglichen „Herunterholungen“ sind zwei
unterschiedliche Objekte, von denen hier nur das erste, kartenunabhängige, von Relevanz ist.
Wir können auch die jeweils bezüglich einer Karte heruntergeholten Tangentialvektoren betrachten
und auf Basis der Charakterisierung des Kartenwechsels einen kartenunabhängigen
Tangentialvektorbegriff zu definieren versuchen.
Seien folgende zwei Vektoren
und
. Was heisst, dass
?
.
können wir übrigens als
umschreiben
17
.
Wir versuchen, diesen Sachverhalt zu interpretieren, und zwar genau den folgenden Sachverhalt:
.
ist der Wert einer Verbindung zwischen einer Karte und einem Vektor v in
, und zwar der
Wert der Verbindung, die durch die Formel
gegeben wird
18
. Andere Verbindungen
können aber den gleichen Wert haben wie
; sogar für jede mögliche Karte gibt es jeweils einen
einzigen Vektor w in
, sodass die Verbindung zwischen dieser Karte und diesem Vektor den gleichen
Wert hat wie
ist. Jede solche Verbindung entspricht einem Punkt im Graphen einer Funktion
. Dass
und
gleich sind, bedeutet also, dass sie zwei Punkte des
Graphen einer selben Funktion
sind. Ein Tangentialvektor lässt sich
deshalb als eine solche Funktion verstehen. Sie hat die Eigenschaft, dass
.
Konkret können wir
, für einen
, setzen.
Siehe Jänich, Vektoranalysis, S. 44: der Ricci-Kalkül der Physiker.
Einen Tangentialvektor können wir auch eineindeutig mit einem Richtungsableitungs-Operator auf der
Menge aller differenzierbaren reellen Funktionen assoziieren, die in einer -Umgebung von p definiert
sind. Einen Tangentialvektor können wir also ebenfalls als eine Derivation definieren. Wir betrachten
die Menge aller auf einer -Umgebung von p definierten reellwertigen differenzierbaren Funktionen
und die auf dieser Menge folgenderweise definierte Äquivalenzrelation: eine -
Umgebung um den Punkt p, worauf und übereinstimmen. Sei
die Menge aller
17
. Mit der Kettenregel:
.
18
Diese Formel ist die implizite Angabe einer Funktion. Vgl. mit der Formel , die die implizite Angabe
der Funktion ist. Die erstere Formel entspricht der Form , welche (lokal) die implizite
Angabe einer Funktion sein kann (Siehe den Satz über die impliziten Funktionen am Beispiel
) während die zweitere der Form entspricht, was dann die explizite Angabe einer Funktion ist.
18
Äquivalenzklassen. Weiter wollen wir nicht zwischen einer Funktion und die Klasse , die sie
vertritt, unterscheiden. Eine Derivation ist dann eine lineare Funktion
mit der
Produktregel . Da liegt übrigens der Grund, weshalb wir uns auf die
reellwertigen Funktionen einschränken: die Produktregel gibt es nur für reellwertige Funktionen
19
.
Bemerken wir, dass hier die Geltung der Kettenregel gar keine Anforderung sein kann, weil sich die
Funktionen von
miteinander nicht verketten lassen.
Wohl bemerkt: Die Ableitung einer Funktion ist eine Funktion und die Ableitung bei einem gegebenen
Punkt ist ein Punkt. Hier handelt es sich um eine Derivation beim Punkt p und nicht um einen
Richtungsableitungsoperator zwischen Funktionen.
Wir haben drei Fassungen eines Tangentialvektors von
gefunden. Die erste werden wir die
geometrische Fassung, die zweite die physikalische Fassung (weil die Physiker diese Fassung
gebrauchen) und die dritte die algebraische Fassung nennen. Entsprechend werden wir die
Tangentialräume respektive
,
und
notieren.
Geben wir uns eine Karte und einen Basisvektor
von
. In diesem Fall ist
ein
Tangentialvektor. Interpretieren wir ihn gemäss seiner unterschiedlichen Fassungen:
- Physikalische Fassung:
. Und für eine Karte gilt tatsächlich:
.
- Algebraische Fassung: Für alle
gilt, dass für zwei Vektoren v und w in
,
. Für Richtungsableitungen gilt stets
und deshalb ist
die Aussage unmittelbar. Insbesondere hängt diese Derivation von der Karte nicht ab.
- Geometrische Fassung: Da
ist unser physikalisch gegebene
Vektor die Richtungsableitung von
an der Stelle in der Richtung
, was die Ableitung
an der Stelle von der Kurve
ist. Geometrisch gesehen ist also
unser Vektor die Äquivalenzklasse zu dieser Kurve.
19
Die Herleitung der Produktregel:
geht für
-wertige Funktionen nicht. Nämlich müssten wir in der oben stehenden Entwicklung durch
ersetzen. Der Ausdruck
würde dann zum Ausdruck
; der Erstere ist nur für
mit , Teilmengen von gleich dem Differential , während der Letztere gleich
. Die Ausdrücke
und
Einheitsvektor Richtung h verwechseln wir nicht.
Und wenn wir in der obigen Entwicklung zusätzlich den Ausdruck
durch
ersetzten, wird der
Differentialquotient zu
, gleich der Richtungsableitung
.
19
Es gibt drei kanonischen Abbildungen:
Ist ein geometrisch definierter Tangentialvektor an in p, so ist durch
eine Derivation, also ein algebraisch definierter Tangentialvektor gegeben.
Ist
eine Derivation, so ist durch (d ist die Dimension von )
Ein physikalisch definierter Tangentialvektor gegeben (den Beweis in: Jänich, Vektoranalysis, S. 35)
Ist
ein physikalisch definierter Tangentialvektor und eine
Karte um p, so ist
auf einem genügend kleinen Intervall um 0 definiert.
Die Klasse
ist wohldefiniert.
Die aneinander Schaltung dieser drei kanonischen Funktionen, die wir respektive
,
und
benennen, ergibt die Identität. So z.B.
.
Alle diese alternativen Fassungen eines Tangentialraums sind also äquivalent. Erst an diesem Punkt
haben wir den Begriff der Untermannigfaltigkeit durch denjenigen der Mannigfaltigkeit ersetzt und
erst jetzt können wir uns dem Begriff des Differentials einer Funktion zwischen zwei Mannigfaltigkeiten
richtig widmen.
Das Differential
Sei eine differenzierbare Abbildung. Deren Differential ist die Funktion
. Wie sieht aber das Differential aus, wenn z.B.
? Je nachdem wie der
Tangentialraum angesehen wird, müssen wir jeweils eine unterschiedliche Implementierung
(Realisierung) der Funktion finden:
;
, wobei
;
bildet eine Funktion
auf die Funktion
ab. Die leben also in
und die in
. Die
leben in
. Die Abbildung
nimmt also einen Tangentialvektor von
, eine Funktion
also mit Argumenten in
, und macht aus diesen in
lebenden Elemente, die in
leben. Auf diese Weise macht
aus Tangentialvektoren von
Tangentialvektoren
von
.
Die Produktregel gilt, denn:
. Da sich beide
und
in
befinden und eine Derivation auf
ist, für die die Produktregel gilt, haben wir
.
20
.
Diese drei Implementierungen von derselben Abbildung vertragen sich. Damit gemeint ist:
;
;
Die Schreibweise beim Ricci-Kalkül
Der Ricci-Kalkül (siehe Jänich, Vektoranalysis, S. 44) vereinfacht die Notation stark. Manchmal ist sie
aber schwer nachzuvollziehen. Fangen wir bei den einfachen Sachen an.
Anstatt
schreibt der Ricci-Kalkül
. Die Angabe der Karte
geht dabei verloren, die Indizien werden hoch gestellt und vor allem werden die
Komponentenfunktionen
wie Koordinaten des
, analog der Schreibweise ,
geschrieben. Somit gibt es Verwechslungsgefahr: der Ricci-Kalkül notiert
, meint aber die
reellwertige Funktion
.
Wie sollte insbesondere der Tangentialvektor (an bei p) zu
notiert werden? Die Antwort
hängt davon ab, wie er gebraucht wird
20
. Tangentialvektoren werden im Prinzip als Argumente von
einem Differential gebraucht: in diesem Zusammenhang schreiben wir
, was die
Richtungsableitung
von an der Stelle p in der Richtung ist. Den Tangentialvektor als einen
Richtungsableitungsoperator zu bezeichnen ist also sinnvoll, zum Beispiel als
. Wir können nämlich
dann
schreiben. Das ist die elegante Schreibweise im Ricci-Kalkül.
Konsequenterweise muss dann ein als Operator bezeichneter Tangentialvektor in seiner algebraischen
Fassung als eine Derivation verstanden werden und nicht etwa in seiner physikalischen
21
oder
geometrischen Fassung. Wie sieht also konkret der Tangentialvektor (an bei p) zu
aus?
20
Damit man diese Frage überhaupt stellen kann, muss man die eventuell stillschweigend angenommene
Vorstellung, ein Tangentialvektor sei grundsätzlich ein physikalischer Vektor, der aber auch als ein Operator
gefasst werden könne, zuerst identifizieren und verlassen. Diese Vorstellung, die der physikalischen Fassung den
Vorrang gibt, hat mich dazu gebracht, eine Umformung des physikalisch gefassten Tangentialvektors, die die
Notation
nachvollziebar machen würde, vergeblich zu suchen. Aber keine Umformung eines physikalisch
gefassten Tangentialvektors kann es, weil es keinen solchen Übergang von einem physikalisch zu einem
algebraisch gefassten Tangentialvektor gibt, sondern nur eine Äquivalenz beider Begriffe.
21
Um die Ricci-Notation
für einen Tangentialvektor nachzuvollziehen, hilft es nicht, die so genannte
physikalische Fassung eines Tangentialvektors zu betrachten. Probieren wir es: Ein Tangentialvektor an bei p
bezüglich der d-dimensionalen Karte ist
, für einen
in
. Es ist der
Tangentialvektor zum Vektor
. Wir haben:
, wobei
der Tangentialvektor zum Basisvektor
ist. Wegen
ist der Tangentialvektor zu
durch die Ableitung der i-ten Kompotentenfunktion von
gegeben. Der Tangentialvektor zu z ist dann
. Wir versuchen
21
Er ist folgende Derivation:
mit
. Wir
berechnen:
. Setzen wir
,
dürfen wir
schreiben und erhalten dann mit der Kettenregel:
.
Der Tangentialvektor (an bei p) zu
kann also algebraisch als folgende Derivation angesehen
werden:
, d.h. als der auf
definierte
Richtungsableitungsoperator in der Richtung
, d.h. in der Richtung
, der flach gemachten
Funktion ist. Neben
gibt es deshalb auch die Notation
.
Dass ein solcher Tangentialvektor ein Richtungsableitungsoperator auf
ist, ist klar. Die Frage ist
aber, ober er auch ein Richtungsableitungsoperator auf der Menge der differenzierbaren Funktionen
der Form ist. Um diese Frage zu beantworten müssen wir sehen, wie das Differential von
auf solche Tangentialvektoren wirkt.
Ein Differential
ordnet jeden Tangentialvektor von
einem Tangentialvektor von
zu, d.h. ordnet jede Derivation
einer Derivation
zu,
wobei
.
ist Richtungsableitungsoperator in der Richtung
, der auf der Menge
definiert
ist.
ist eine Teilmenge von
.
ist also Richtungsableitungsoperator in der
Richtung
für alle Funktion von
, die sich als , für
, schreiben lassen. In
diesem exakten Sinne dürfen wir
als
schreiben.
Alternativ zu
schreiben wir lieber
.
Praktischer Umgang mit
ist eine Funktion von p. Wir schreiben
. Geben wir uns eine Karte , können wir
schreiben:
. Möchten wir
herunterholen, so müssen wir
basteln:
. Hier wird
als triviale
Mannigfaltigkeit angesehen und
ist dann die Karte
. Die Funktion
gehört
nachzuvollziehen, warum der Ricci-Kalkül den Tangentialvektor zu
mit
bezeichnet oder auch mit
. Aber
weder die Form des Tangentialvektors als
noch als
scheint zu helfen.
22
. Und wir haben
. Diese Überlegung wird später bei der Definition des
Integrals auf eine Mannigfaltigkeit benötigt.
Was bis jetzt behandelt wurde, bildet die konzeptuelle Basis des nächsten Kapitels. Ein Wissen, das
ausser als Basis für die Theorie der Differentialformen keine eigene Existenzberechtigung und
Anwendung zu haben scheint. In den meisten Büchern über Differentialformen (z.B. das Buch von
Manfredo P. Do Carmo: Differential Forms and Application, Springer Verlag) werden alle diese
Vorkenntnisse schlicht angenommen. Die Differentialformen lassen sich nämlich auch ohne sie
behandeln, vorausgesetzt, man betrachte eine Differentialform als ein neues und hoch abstraktes
Objekt, dessen Entstehungsgeschichte vom Auge verloren gegangen ist.
23
Differentialformen
Alternierende Formen
Die Existenzberechtigung der Differentialformen erfahren wir im Kapitel über die Integration auf
Mannigfaltigkeiten. Hier wollen wir uns mit ihnen ein erstes Mal auseinandersetzen.
Definition: Sei V ein reeller Vektorraum. Unter einer alternierenden k-Form auf V verstehen wir eine
multilineare Abbildung
mit der Eigenschaft: Sind
linear abhängig, so
gilt
. Der Vektorraum der alternierenden k-Formen auf V wird mit
bezeichnet.
Konvention:
. Und
ist der gewöhnliche Dualraum von V.
Behauptung: Sei
eine alternierende k-Form auf W und sei linear. Wir können dann
folgende lineare Abbildung definieren:
.
22
Der Ausdruck
ist also eine alternierende k-Form
, die wir
bezeichnen. Wir bemerken, dass wenn die
linear abhängig sind, dann auch die
. Umgekehrt spielt es (gemäss Definition des Alternierens) keine Rolle. Deshalb wird
von ausser der Linearität auch nichts verlangt.
Schreibweise:
schreiben wir auch
und sprechen von
als die durch aus
induzierte
alternierende k-Form.
Die Konstruktion von
sollen wir uns ab sofort in ihrer einfachen Form merken. Sie lässt sich nämlich
in immer komplexeren Erscheinungsformen deklinieren, sodass ohne eine gewisse Vertrautheit mit
dieser Konstruktion ein übergreifendes Verständnis der neuen Objekte nicht möglich ist.
Sei
eine Basis von V. Eine alternierende k-Form auf V, mit , ist durch die Zahlen
eindeutig bestimmt (Die Indizien
sind eine Auswahl von k Zahlen aus der Menge
). Wegen des Alternierens gilt
und deshalb
genügt es,
für
zu kennen. Diese Zahlen heissen die Komponenten von
bezüglich der Basis.
22
oder, vielleicht genauer ausgedrückt:
24
Behauptung: Sei
eine Basis von V. Folgende Abbildung, die einer alternierenden k-Form ein
k-Tupel zuordnet, ist ein Isomorphismus:
.
Insbesondere ist
.
Folgerung (Eindeutigkeit der Determinante): Für eine gegebene Basis eines Vektorraums V der
Dimension n und eine reelle Zahl gibt es genau eine alternierende n-Form auf V mit
. Im Falle der Standardbasis und ist das die Determinante, aufgefasst als Multilinearform in den
Spaltenvektoren der reellen –Matrizen.
k-Formen
Definition: Unter einer Differentialform vom Grade k oder kurz k-Form auf einer Mannigfaltigkeit
verstehen wir eine Zuordnung
, welche jedem eine alternierende k-Form
auf dem Tangentialraum bei p zuweist.
Aufpassen! Es gibt eine grosse Gefahr der Verwechslung zwischen den Benennungen „k-Form“ und
„alternierender k-Form“. Insbesondere ist eine alternierende k-Form gar keine k-Form! Deshalb sollten
wir von der Bezeichnung „k-Form“ keinen Gebrauch machen und entweder von „alternierenden k-
Formen“ oder von „Differentialformen (vom Grade k)“ sprechen.
Definition: Die Menge der k-Formen (☺) auf wollen wir mit
bezeichnen (obwohl in der Literatur
die Menge der differenzierbaren k-Formen auf bezeichnet).
Wir merken, dass für
die Menge
der Menge
entspricht
23
. Also muss das Pendant
der oben definierten induzierten Abbildung
ebenfalls für k-Formen existieren.
Wenden wir die Tatsache an, dass eine alternierende k-Form von einer linearen Abbildung induziert
werden kann. Für alle p haben wir nämlich
24
:
,
wobei der Ausdruck
die alternierende k-Form
ist,
die mit
definiert wird. Diese Schreibweise ist aber mühsam. Deshalb
setzen wir
(Es soll klar sein, dass der x auf lebt) und machen die folgende Behauptung:
Behauptung: Eine differenzierbare Abbildung induziert in kanonischer Weise eine lineare
Abbildung
,
wobei der Ausdruck
eine alternierende k-Form
ist.
23
Die Elemente von
sind alternierende k-Formen während die Elemente von
k-Formen sind, also
Funktionen, die jedem p eine alternierende k-Form zuordnen.
24
Es ist die oben stehende Behauptung mit
,
und mit der linearen Abbildung .
25
Schreibweise: Die Zuordnung
ist eine differenzierbare k-Form, die wir
einfach
notieren. Mit dem Ausdruck
verstehen wir also folgende in
lebende
Differentialform:
.
Behauptung: Ist V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum und linear, so ist
die Multiplikation mit .
Beweis: Die Determinante ist ursprünglich für Funktionen der Form
definiert. Die
Determinante von verstehen wir als
, wobei
ein Isomorphismus ist
(siehe linkes Schema).
Das zweite Schema (vergleiche die Pfeile) ist kommutativ und
. Deshalb sind
und
durch Multiplikation mit ein und derselben Zahl gegeben
25
. Um diese zu ermitteln, wenden
wir
auf das Element
und für die kanonische Basis.
Einsformen (auch Pfaffsche Formen)
Sei differenzierbar. Da ein Vektorraum V trivialerweise mit seinem Tangentialraum
bei
irgendeinem Punkt isomorph ist
26
, können wir das Differential
als eine
Funktion
auffassen. So gesehen ist
ein Element des Dualraums
, weil für
ja
gilt. Ein Element von
ist eine lineare Abbildung
; die Angabe eines
Vektors und einer Zahl mit
bestimmt also ein Element des Dualraums eindeutig –
natürlich für das gegebene Skalarprodukt. Wir können deshalb schreiben:
.
Bezüglich einer d-dimensionalen Karte von ist ein Tangentialvektor in
der
-Vektor
. Der Ricci-Kalkül notiert es
. Das
Differential von lässt sich also folgenderweise schreiben:
. Andererseits prüfen
wir leicht, dass das Differential der heruntergeholten Funktion
gleich
ist. Wir sehen
es: die Notation
entspricht wirklich der i-ten partiellen Ableitung
und wir verstehen den
Grund, den Tangentialvektor
, für
ein Element der Standardbasis von
, mit
zu
kennzeichnen.
Betrachten wir den Fall, wenn die Projektion
ist. Wir berechnen
. Ist es
eine reelle Zahl oder eine Funktion? Da
eine Notation für die Funktion
ist, gilt:
25
Als lineare Abbildung zwischen Vektorräumen der Dimension 1 muss
, resp.
, die Multiplikation
mit einer Zahl sein. Das Schema macht es klar, warum diese Zahl für
und für
dieselbe sein muss.
26
Geometrisch ist der Isomorphismus
eine Verschiebung des Ursprungs nach p.
26
, mit 1 an der i-ten Stelle.
27
Das Integral
Was wir soweit erreicht haben, ist, das Differential einer Abbildung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten
sauber definiert zu haben. Wir wissen aber, dass in
das Differenzieren und das Integrieren zwei eng
verbundene Prozesse sind. Wie steht es in der Welt der Mannigfaltigkeiten? In diesem Kapitel
definieren wir zuerst das Integral und im nächsten Kapitel untersuchen wir das Verhältnis zwischen
Differenzieren und Integrieren.
Die Orientierung
Orientierung eines Vektorraumes
Definition: Zwei Basen
und
eines reellen Vektorraumes V heissen
gleichorientiert, wenn die eine durch eine Transformation mit positiver Determinante aus der anderen
hervorgeht. Gleichorientiertheit ist also eine Äquivalenzrelation mit genau zwei Äquivalenzklassen auf
der Menge der Basen von V.
Die Orientierung eines Vektorraumes ist eine dieser zwei Äquivalenzklassen, welcher einmal per
Konvention der Vorrang gegeben wurde. Jede Basis, die sich in dieser Orientierung als
Äquivalenzklasse von Basen befindet, wird positiv orientiert genannt. Alle andere negativ orientiert.
Definition: Ein orientierter Vektorraum ist die Angabe eines Paares , bestehend aus V und einer
seiner beiden Orientierungen (die dann positiv genannt wird).
Orientierung einer Mannigfaltigkeit
Eine Mannigfaltigkeit wird dadurch orientiert, dass man jeden ihrer Tangentialräume orientiert –
aber nicht irgendwie, sondern so, dass sich diese Orientierungen nachbarlich gut vertragen.
Definition: Sei eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Eine Familie
von Orientierungen
ihrer Tangentialräume
heisst lokal verträglich, wenn sich um jeden Punkt von eine
orientierungserhaltende Karte finden lässt, also eine Karte mit der Eigenschaft, dass für jedes
das Differential
die Orientierung
in die übliche Orientierung des
überführt.
Definition: Unter einer Orientierung einer Mannigfaltigkeit verstehen wir eine lokal verträgliche
Familie
von Orientierungen ihrer Tangentialräume. Eine orientierte Mannigfaltigkeit ist ein
Paar , bestehend aus einer Mannigfaltigkeit und einer Orientierung von .
28
Auf einer Mannigfaltigkeit integrieren
Das Integrieren über n-dimensionale Mannigfaltigkeiten führt man mittels Karten auf das Integrieren
im
zurück. Für eine Funktion und zwei Karten und ist das heruntergeholte
Integral
nicht zwingend mit
gleich und so hängt das
Integral von auf von der Wahl der Karte ab.
Ist es also unmöglich, eine Funktion nicht auf
27
sondern auf eine beliebige Mannigfaltigkeit sinnvoll
– also insbesondere kartenunabhängig – zu integrieren?
Überlegen wir uns, was wir eigentlich machen, wenn wir eine Funktion auf
integrieren: wir
summieren Elemente
, also ganz kleine Elemente der Form
, zusammen.
Dabei ist der Grundelement
ein Volumen in
. Wollen wir eine Funktion auf eine
Mannigfaltigkeit integrieren, so müssen wir zuerst ein Volumen in definieren. Ein solches
Volumen wäre dann sinngemäss kartenunabhängig, weil es etwas wäre, das der Mannigfaltigkeit
selbst zugeordnet wäre. Um es für zu definieren, definieren wir es zuerst für ein infinitesimales
Volumen um p; für dieses dürfen wir nämlich das Volumen in
als lokale Approximation des
Volumen in behandeln. Und ein Volumen in einem Vektorraum, das kennen wir. Das Volumen in
ist eine reelle Zahl, die wir jedem n-Tupel von Vektoren in
zuordnen können. Diese Vektoren
definieren einen Spat
und denen ordnet die
Volumenfunktion das Volumen des Spates. Was immer die Volumenfunktion ist, muss sie folgende
Eigenschaften haben:
- positive Homogenität:
,
- Scherungsinvarianz:
für alle .
Der Zusammenhang zwischen alternierenden Formen und
Volumen
Behauptung: Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. Wählt man eine Orientierung von V und
modifiziert die Abbildung durch
zur Abbildung
, so ist genau dann ein Volumen, wenn
eine alternierende n-Form ist.
Beweis: „“: Trivial. „“: Sei
eine positiv orientierte Basis von V. Wir geben uns eine
Volumenfunktion . Es gibt immer
28
eine alternierende n-Form mit
.
27
Oder eine Teilmenge davon der Form
, mit
Teilmengen von .
28
Siehe den Beweis der Behauptung, dass
: Für jeden Wert gibt es genau eine alternierende
n-Form eines Vektorraums der Dimension n, für welche
gilt. Insbesondere auch für
.
29
Wir zeigen durch Induktion nach k, dass
.
Dazu gebrauchen wir die Tatsache, dass
(1)
falls w eine Linearkombination aus
ist (Scherungsinvarianz), sowie die Tatsache, dass
(2) unter Permutation der Variablen invariant ist. Das lesen wir nämlich aus den Eigenschaften
der Volumenfunktion leicht ab.
Zum Induktionsschluss von auf : Wir nehmen oBdA an, dass die
linear
unabhängig sind.
Wir dürfen weiterhin oBdA annehmen, dass die
Linearkombinationen von
sind.
Sonst lässt sich (mindestens) ein
, , als
schreiben, wobei
eine
Linearkombination von
und
eine Linearkombination von
ist. Wegen (1) gilt
aber
.
Die Vektoren
sind also linear unabhängig und von
erzeugt. Es gibt deshalb
einen Vektor
, der von den ersten Basisvektoren
nicht erzeugt wird; ansonsten würden
Basisvektoren
die Vektoren
erzeugen, was die lineare Unabhängigkeit
dieser Vektoren widersprechen würde.
Es gibt aber genau einen solchen
und nicht mehrere. Um das zu verstehen, müssen wir die
Betrachtungsweise umkehren: Die
werden von den
erzeugt. Angenommen die
Basisvektoren
können nur
, mit , erzeugen. Die
bilden dann aber ein
minimales Erzeugendensystem von
. In diesem Fall sind es also Vektoren, mit , die k
Basisvektoren erzeugen, was aber die lineare Unabhängigkeit der Basisvektoren widerspricht.
Es gibt also genau einen Vektor
, der von den ersten Basisvektoren
nicht erzeugt wird.
Die
erzeugen jeden der
und insbesondere den Vektor
. Es gilt deshalb
, wobei der Vektor
der einzige unter den Basisvektoren ist, welcher in gar keiner
der linearen Kombinationen in Basisvektoren der
, , vorkommt. Die k ersten Basisvektoren
reichen nämlich, um die
, , in eine Linearkombination zu zerlegen und der
wird nur bei der
Zerlegung von
benötigt. Wegen der Eigenschaft (1) der Scherungsinvarianz können wir deshalb
annehmen, dass
. Somit haben wir
und der Induktionsschritt ist beendet. □
Ein anderer Weg, den Induktionsschritt zu machen:
30
Die
sind linear unabhängig und haben deshalb die Form
, wobei mit
(Der Index läuft dabei auf die
und der Index auf die
.). Sonst könnten diese
Vektoren unmöglich linear unabhängig sein. Sei ein Basisvektor
, wofür
. Allenfalls durch
Permutation können wir annehmen, dass
. In diesem Fall ist
keine Linearkombination
von
, weil der Basisvektor
in der Linearkombination von
mit dabei ist.
Die Summe am Rechtsesten gibt Terme. Für jeden dieser Terme gibt die zweite Summe von
rechts Terme – jeweils einer der Terme dieser zweiten Summe ist wegen der Alterniertheit
nämlich Null. Die zwei ersten Summen von rechts bringen also zusammen Termen. Für jeden
dieser Termen bringt die dritte Summe von rechts Terme – jeweils zwei der Terme der
dritten Summe sind nämlich Null. Alle Summen bringen also zusammen Terme. Jeder
dieser Terme ist gleich ein Faktor mal
, wobei eine Permutation der
Indexmenge . Der obige Ausdruck ist also gleich
29
Weiter muss noch daraus geschlossen werden (wie genau?), dass der Vektor
die Form
besitzen muss, womit dann der Induktionsschritt (analog zur ersten Fassung des Beweises) beendet
wird.
Sicher muss von der Tatsache, dass
, Gebrauch gemacht werden, aber vermutlich auch
von der Tatsache, dass alle andere
mit Null sind. Um aber über diese Tatsache zu
verfügen, muss sie zuvor bewiesen werden, was ohnehin die oben stehende Überlegung verlangt, dass
„es genau einen Vektor
gibt, der von den ersten Basisvektoren
nicht erzeugt wird.“
Das Volumen einer Mannigfaltigkeit
Den Raum der Volumenfunktionen in V nennen wir . Dieser Raum ist wie
ein
eindimensionaler Vektorraum. Haben wir uns für eine der beiden Orientierungen von V entschieden,
haben wir einen kanonischen Isomorphismus
.
Definition: Unter einem Volumen in einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit verstehen wir eine
Zuordnung , welche jedem ein Volumen
in dem Tangentialraum bei p
zuweist. Wir notieren
. Wir sehen die Verwandtschaft mit der Differentialform
29
Dieses Ergebnis wird im Kapitel über das Dachprodukt ohne weiteres benutzt.
31
. Auf einer orientierten Mannigfaltigkeit stimmen sogar beide überein. In der Folge
werden wir auf differentiale n-Formen integrieren. Die Integration über differentiale n-Formen (wie
auch über Volumenfunktionen) ist kartenunabhängig, weil ihre Argumente Tangentialvektoren sind,
die kartenunabhängig konstruiert wurden.
Betrachten wir eine orientierungserhaltende Karte und einen Quader , den wir fein
gerastet denken. Der grosse Quader ist dann die Vereinigung vieler kleiner Teilquader, deren
Urbilder unter der Karte wir die Maschen des Rasters nennen wollen. Die Masche mit dem „linken
unteren Eckpunkt“ p – wir nennen sie
– ist das Urbild des Teilquaders
, wobei
die Koordinaten des Gitterpunktes bedeuten –
steht doch für
.
Wir approximieren jede kleine Masche
mit dem tangentialen Spat
in
. Das Urbild von
unter der linearen Approximation der Karte ist
, weil die
Einheitsvektoren des
unter den Basisvektoren
des Tangentialraumes entsprechen.
Das Volumen dieser Spat ist (die Karte ist orientierungserhaltend):
.
Eine Approximierung von
ist dann die Summe dieser reellen Werte über die endlich vielen
Gitterpunkte p – jeder p befindet sich nämlich an der „linken unteren Ecke“ einer Masche des Rasters:
.
Wir versuchen, aus dem allgemeinen Summenglied einen Integranden für eine Integration in
zu
machen. Was ist
? Es ist die kleine Länge
. Legen wir p fest, so ist
nämlich
.
Und was ist
? In seiner physikalischen Fassung und beim Punkt p ist es
. Daraus
folgt bei p:
, wobei
.
Der Summand ist also:
.
Wir integrieren auf den Quader . Die Integrationsvariablen sind die
, d.h. die
Komponentenfunktionen von . In der Schreibweise lassen wir den Index p wegfallen
30
:
30
Setzen wir , ist dann p eine Funktion von y:
. Integriert man nach y, so braucht
man also p für die Integration nicht mehr.
32
Bis jetzt können wir lokal auf einer Karte integrieren; weiter wollen wir auf eine ganze orientierte
Mannigfaltigkeit integrieren. Dazu eine Definition und zwei Ergebnisse.
Definition: Das Integral von einer Funktion über eine Teilmenge von
ist das Integral über ganz
der über ganz
definierten Funktion
.
Wir schreiben dann:
.
Behauptung (Transformationsformel): Seien
offen und
ein Diffeomorphismus.
Sei weiter eine integrierbare
31
Funktion . Es gilt dann:
Beweisidee: Dass und dasselbe Integral haben sollten, ist nicht zu erwarten, vielmehr wird ein
Korrekturfaktor notwendig. Dass dieser gerade der Beitrag der Jacobi-Determinante ist, braucht uns
nicht zu wundern: die Jacobimatrix ist ja die lineare Approximation des Diffeomorphismus , beim
Übergang von kleinen Quadern in
zu ihren Bildmaschen in wird also das Volumen näherungsweise
mit
multipliziert.
Behauptung: Man kann jede Mannigfaltigkeit in abzählbar viele paarweise disjunkte kleine (d.h. auf
einem einzigen Kartengebiet enthaltenen) Teilmengen zerlegen.
Nun sind wir imstande, das Integral auf einer orientierten Mannigfaltigkeit zu definieren.
Definition: Eine n-Form (andere Integranden machen bis jetzt für uns gar keinen Sinn) auf einer
orientierten n-dimensionalen Mannigfaltigkeit heisst integrierbar, wenn für eine (dann jede)
Zerlegung
in abzählbar viele kleine messbare Teilmengen und eine (dann jede) Folge
von orientierungserhaltenden Karten mit
gilt: Für jedes ist die
heruntergeholte Komponentenfunktion
32
von bezüglich
integrierbar und es ist
Behauptung: Folgender Wert
31
Was es genau heisst, dass eine Funktion auf eine Mannigfaltigkeit integrierbar ist, können wir in: Jänich,
Vektoranalysis, Seite 88, nachlesen. Nur so viel zum Thema: eine Funktion ist integrierbar, wenn sie es bezüglich
Karten und in üblichem Sinne ist. Auf eine Mannigfaltigkeit sind insbesondere Messbare Mengen und
Nullmengen wohl definiert. Die Messbaren Mengen bilden eine wohl definierte –Algebra.
32
Die Komponentenfunktion
ist nicht die -te Vektorkomponente des Vektors
sondern die
Karte zur Teilmenge
.
33
hängt nicht von der Wahl der Zerlegung und der Karten ab. Das Integral
ist also wohl definiert.
Zum Beweis gebraucht man die Transformationsformel. Beweis in: Jänich, Vektoranalysis, Seite 93.
Wie lautet die Transformationsformel für das Integral auf Mannigfaltigkeiten? Statt eines
Diffeomorphismus
zweier offenen Mengen des
betrachten wir jetzt natürlich einen
orientierungserhaltenden Diffeomorphismus
. Für eine Zerlegung
und Karten
mit
gibt es die Zerlegung
und die Karten
. Dann
haben die n-Formen auf und
auf
ganz dieselben heruntergeholten Komponenten-
funktionen und es ergibt sich folgende Transformationsformel:
Behauptung (Transformationsformel für die Integration auf Mannigfaltigkeiten): Ist
ein
orientierungserhaltender Diffeomorphismus zwischen orientierten n-dimensionalen
Mannigfaltigkeiten, so ist eine n-Form auf genau dann integrierbar, wenn
auf
integrierbar
ist und es gilt dann
Wie ist der Ausdruck
zu verstehen?
lebt in
und lebt in . Als k-Formen sind
beide und
Funktionen, die einem Punkt p in einer Mannigfaltigkeit eine alternierende k-Form
im Tangentialraum von dieser Mannigfaltigkeit an der Stelle p zuordnen. Die k-Form
ist also
punktweise, d.h. für jeden
, folgenderweise definiert. Seien
Vektoren in
. Wir definieren:
.
Diese Definition ist mit der Tatsache konsistent, dass
, wobei die Rolle der
Funktion bei der linken und bei der rechten Seite der Gleichung unterschiedlich ist: Einmal
modifiziert die k-Form selbst und einmal deren Ausgangsmenge .
Berandete Mannigfaltigkeiten
Ein Stück von einer Fläche wie eine Flagge im Wind, ein endlich langer Zylinder oder eine Halbsphäre
sind Mannigfaltigkeiten, die einen Rand haben. Ein Würfel hat zwar keinen Rand, besteht aber aus
sechs quadratisch berandeten Seiten. Der Begriff der berandeten Mannigfaltigkeit ist eine
Verallgemeinerung desjenigen der Mannigfaltigkeit.
Das lokale (d.h. linearisierte) Modell für eine berandete Mannigfaltigkeit ist der abgeschlossene
Halbraum, so wie
das lokale (d.h. linearisierte) Modell für eine Mannigfaltigkeit ist. Welchen
Halbraum wir benutzen, ist natürlich gleichgültig.
Definition: Wir bezeichnen mit
den Halbraum
und mit
seinen
Rand. Ferner betrachten wir Teilmengen
, die in der Teilraumtolologie des
offen sind,
34
andere Teilmengen des
interessieren uns nicht. Den Rand von definieren wir als
.
Falls nicht nur in
sondern auch in
offen ist, ist dann ihr Rand leer, und umgekehrt. Dieser
Randbegriff entspricht übrigens gar nicht dem aus der Topologie bekannten Begriff des Randes von
als die Menge aller Punkte, die weder innerer noch äusserer Punkt von sind.
Damit unser lokales Modell einer berandeten Mannigfaltigkeit wohl definiert ist, muss noch festgelegt
werden, was für diese noch zu definierende spezielle Mannigfaltigkeit die Differenzierbarkeit ist.
Definition: Sei offen in
. Eine Abbildung
heisst differenzierbar an der Stelle ,
wenn sie zu einer in einer Umgebung von
differenzierbaren Abbildung fortgesetzt werden
kann. In diesem Sinne verstehen wir den abgeleiteten Begriff eines Diffeomorphismus zwischen zwei
in
offenen Teilmengen.
Behauptung (das Randverhalten der Diffeomorphismen): Ist ein Diffeomorphismus zwischen
in
offenen Teilmengen, so gilt und folglich
.
Beweis: Sei und
eine lokale differenzierbare Fortsetzung von .
33
Angenommen
ist kein Randpunkt von . Dann ist
um stetig und es gibt deshalb eine offene Umgebung
um mit
. Aber
ist die Identität auf
. Also muss
bei
den vollen Rang haben und deren Ableitung surjektiv sein. Nach dem lokalen Umkehrsatz ist
bei ein Diffeomorphismus und
muss ein Umgebung von p in
sein. Im Widerspruch
damit, dass □
Diese Diffeomorphismen werden unsere zukünftigen Kartenwechsel sein.
Definition (berandete Karte): Ein Homöomorphismus einer offenen Teilmenge auf eine in
oder in
offene Teilmenge von
bzw.
heisst eine n-dimensionale berandete Karte für .
Dementsprechend sind die Begriffe berandeter n-dimensionaler Atlas und berandete n-dimensionale
differenzierbare Struktur (maximaler Atlas) zu verstehen.
Definition: eine berandete n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein Paar , meist als
geschrieben, bestehend aus einem zweitabzählbaren Hausdorffraum
34
und einer berandeten n-
dimensionalen differenzierbaren Struktur für .
Bei einem Kartenwechsel müssen Randpunkte in Randpunkte übergehen. Daher die Definition:
33
Da p auf dem Rand ist, können wir mit nicht arbeiten sondern nur mit einer Fortsetzung von .
34
Die Zweitabzählbarkeit eines topologischen Raumes ist seine Eigenschaft, eine abzählbare (topologische)
Basis zu besitzen. Wir erinnern: Eine Basis von ist eine Menge offener Mengen in , sodass jede offene
Teilmenge von eine Vereinigung offener Mengen von ist. Zum Beispiel bildet für
die Menge aller Kugeln
mit rationellen Mittelpunktskoordinaten und rationellem Radius eine abzählbare Basis. Ein metrischer Raum im
Allgemeinen ist erst- und nicht unbedingt zweitabzählbar. Dazu muss er noch separabel sein.
35
Definition: Ein Punkt heisst ein Randpunkt von , wenn er durch eine (dann jede) Karte
um p auf einen Randpunkt von
abgebildet wird. Die Menge der Randpunkte
heisst der Rand der berandeten Mannigfaltigkeit .
Behauptung: Der Rand einer n-dimensionalen berandeten Mannigfaltigkeit erhält durch die
Einschränkungen auf der Karten von einen -dimensionalen Atlas und wird so zu einer
-dimensionalen Untermannigfaltigkeit von . Wenn die eingeschränkten Karten als
Funktionen
– und nicht als
–
verstanden werden, ist dann sogar eine -dimensionale Mannigfaltigkeit.
Berandete Untermannigfaltigkeiten
Gibt es aber wirklich so etwas wie eine berandete Mannigfaltigkeit? Analog wie früher können wir
berandete Mannigfaltigkeiten erzeugenden Methoden angeben. Wir wissen z.B. bereits, dass die
Niveaumenge eines regulären Werts einer auf einer nicht berandeten Mannigfaltigkeit definierten
Funktion eine berandete Untermannigfaltigkeit ist, wobei das Beiwort „Unter“ vorkommt. Nur deshalb
sollen wir kurz über Untermannigfaltigkeiten sprechen.
Definition: Eine k-dimensionale berandete Untermannigfaltigkeit
von einer n-dimensionalen
berandeten Mannigfaltigkeit ist eine Teilmenge
mit der Eigenschaft, dass es für alle
eine berandete Karte gibt, so dass
-
oder
-
gilt.
Dabei ist die Menge
ein in
eingebetteter Halbraum von
. Bis
jetzt ermöglicht unsere Schreibweise nicht, diese Menge einfacher zu schreiben – insbesondere ist die
Schreibweise
nicht zufriedenstellend, weil die Reihenfolge eine Rolle spielt: zuerst konstruieren
wir einen Halbraum von
und erst dann betten wir ihn in
ein; die Schreibweise
meint aber
die umgekehrte Reihenfolge. Schreiben wir jedoch
anstatt
, so können wir die oben
stehende Menge
als
schreiben. In der Folge gebrauchen
wir gerne diese Schreibweise.
Bemerkung: Ganz wie bei den gewöhnlichen (nicht berandeten) Mannigfaltigkeiten sind die k-
dimensionalen berandeten Untermannigfaltigkeiten kanonisch auch k-dimensionale berandete
Mannigfaltigkeiten. Die Einschränkungen der Flachmacher jeweils auf
bilden einen k-
dimensionalen berandeten differenzierbaren Atlas für
.
Behauptung: Wenn ein Punkt
im Rand von liegt, dann ist er auch Randpunkt von
. Dabei
ist k die Dimension von
streng kleiner als n die Dimension von , damit von einer
Untermannigfaltigkeit überhaupt gesprochen werden kann.
Beweis: Gemäss der gerade eingeführten Definition impliziert
, dass es eine Karte
gibt, mit
oder
, wobei . Und bedeutet, dass für jede Karte
36
gilt, dass
und insbesondere auch für
. Für einen Punkt
im Rand
von gilt also (zwei mögliche Fälle)
-
(Fall A) oder
-
(Fall B).
Und was bedeutet
? Der Randbegriff wurde primär für Mannigfaltigkeiten und nicht für
Untermannigfaltigkeiten definiert. Die Karten für
müssen also entsprechend der oben stehenden
Bemerkung eingeschränkt werden, damit sie in
abbilden. Das Abgebildete muss dann in
eingebettet werden, sodass wir mit den oben stehenden zwei Fällen überhaupt vergleichen können.
bedeutet dann, dass für jede karte
gilt, dass
und insbesondere auch für
.
Es ist aber schwer einzusehen, ob sich
(Fall A) respektive
(Fall B) in
befindet oder nicht.
Die Schwierigkeit der Sache liegt in den stillschweigenden Annahmen der Schreibweise: Die „0“ beim
Ausdruck des Randes
entspricht nämlich der ersten Komponente beim Halbraum
und keiner anderen. Hingegen entspricht die „0“ beim Ausdruck
allen nach einer freien
Auswahl von unter Komponenten überzähligen Komponenten. Der Ausdruck
steht
also für eine unter insgesamt
Möglichkeiten, den Halbraum
in
einzubetten.
Fall A: Es ist klar
35
, dass
.
Fall B: Zu zeigen:
. Sei
die Projektion auf die erste Komponente
des Halbraums. Wir haben, dass
, weil
. Sei
die Projektion auf eine Auswahl von Komponenten aus den Komponenten des
. Wir
haben, dass
, d.h. es findet sich ein Paar Räume
und
,
die diese Inklusion genügen, wobei der erste dieser beiden Räume einer unter den insgesamt
Möglichkeiten ist,
in
einzubetten, und wobei der zweite dieser beiden Räume einer unter den
insgesamt
Möglichkeiten ist, den Halbraum
in
einzubetten.
Wenn wir aber gleichzeitig haben, dass
und
,
haben wir auch
.
Die Überlegung dazu lässt sich schön formell angeben:
35
37
(Conclusio)
□
Tangentialräume am Rande
Wie steht es mit den Tangentialräumen
für Randpunkte ? Diese Tangentialräume sind
wohldefiniert, weil die Tatsache, dass p ein Randpunkt ist, bei keiner der drei Fassungen eines
Tangentialvektors irgendeine Rolle spielt. Es sei p ein Randpunkt von . Dann ist offenbar kanonisch
.
Definition: Wir definieren die beide Halbräume
. Diese Definition hängt nicht
von der Wahl der Karte ab.
Definition: Es gilt
. Die Elemente von
heissen nach innen
weisende, die von
nach aussen weisende Tangentialvektoren.
weist genau
nach aussen, wenn bezüglich einer (dann jeder) Karte die erste Komponente
von positiv ist.
Eine Frage: Warum denn sollten die Vektoren von
„nach aussen“ weisen? Weil die Punkte am
Rand der berandeten Mannigfaltigkeit von der Karte auf
und nicht auf
abgebildet werden.
Orientierung
Orientierungskonvention: Ist eine orientierte n-dimensionale berandete Mannigfaltigkeit und
, so soll eine Basis
von
genau dann positiv orientiert heissen, wenn für einen
(dann jeden) nach aussen weisenden Vektor die Basis
von
positiv orientiert
ist.
38
Der Satz von Stokes
Die -Formen kommen ins Spiel
Die Cartansche Ableitung
Wir hatten uns das Integral
über ein in kleinen Maschen zerlegtes Stück einer orientierten
Mannigfaltigkeit anschaulich als Summe der Antworten der n-Form auf die Maschen vorgestellt:
Dabei wird die Masche
durch das tangentiale Spat
approximiert.
Ist
die heruntergeholte Komponentenfunktion und
der Quader mit Kantenlängen
, der der Masche
entspricht
36
, so wird
durch
, d.h.
durch das Integral über den konstanten Wert
approximiert, also durch
. Der Approximationsfehler auf
ist kleiner
oder gleich
und der Fehler auf ist kleiner oder gleich
. Wenn die n-Form stetig ist, strebt der Fehler gegen 0 für eine immer feinere
Rasterung von . Also gilt:
Das rechte Glied dieser Gleichung heisst die Cartansche Ableitung von und wird mit notiert.
Integration einer (n-1)-Form über eine n-dimensionale
Mannigfaltigkeit
Sinn macht für uns und bis jetzt einzig die Integration einer k-Form über eine n-dimensionale
Mannigfaltigkeit , wenn , weil sich dann die Frage nach der Auswahl von Vektoren aus
möglichen nicht stellt. Das Problem ist, dass es für keine kanonische Auswahl von aus
Vektoren gibt, allgemeiner keine kanonische Art
37
, für einen Punkt eine k-Form anzuwenden.
Ja… ausser für .
Die n-Form einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit entspricht dem Volumen einer n-dimensionalen
Masche. Der Rand einer solchen Masche besteht aus Randmaschen der Dimension . Jede
dieser Randmaschen entspricht einer Auswahl von Vektoren, nämlich die
Basisvektoren, die die jeweilige Randmasche spannen. Für gibt es also eine kanonische
Auswahl von aus Vektoren für jede der insgesamt Randmaschen einer Masche. Und weil
es so ist, stellen wir uns die folgende Frage: Was ist denn das Integral einer (n-1)-Form auf einer n-
dimensionalen Mannigfaltigkeit?
36
Es gilt nämlich
. Aber auch
.
37
Kanonisch im Sinne jenseits der schlichten Konventionalität einer Definition oder einer Schreibweise.
39
Wenn wir anfangen, das Integral einer (n-1)-Form auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit
definieren zu wollen, dann müssen wir es auch für das Integral einer (n-2)-Form, denn jeder
Randmasche besitzt selbst Randmaschen. Es ist deshalb sinnvoller zu erklären, dass das Integral einer
k-Form auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit definiert ist, wenn und sonst nicht. Und dann
zu merken, dass ein Rand einer Masche selbst als eine (n-1)-dimensionale (Unter-)Mannigfaltigkeit
angesehen werden kann, worauf wir dann eine (n-1)-Form sinnvoll integrieren können. Die Dimension
der zu integrierenden Form ist nämlich dann gleich wie die des Randes als Mannigfaltigkeit.
Deutung des Randintegrals als Durchfluss
Wir betrachten eine Mannigfaltigkeit und eine n-dimensionale Masche von welcher der Punkt
die „untere linke“ Ecke bildet. Wir betrachten die Randmasche, die lokal durch folgende
Vektorenliste erzeugt wird:
, wobei eine Permutation
ist. Der einzige Basisvektor von
, der dabei weggelassen wird, ist also
.
Wir erinnern daran, dass
. Für jeden bildet die Funktion
im (für alle p selben)
ab und ermöglicht uns, die (n-1)-Spaten zweier sich auf
demselben Rand befindenden Nachbarpunkte p und q zu vergleichen.
Schreiben wir
für
. Die Vektoren
spannen lokal um p unsere Randmasche. Und
zusammen mit
erzeugen sie
. Für einen Nachbarpunkt q auf derselben
Randmasche schreiben wir analog
für
. Geben wir uns ferner eine n-Form (keine (n-1)-
Form!) .
ist dann eine alternierende n-Form, die auf
lebt. Analog für
. Vergleichen wir
mit
. Wir stellen uns beispielsweise vor, dass
für alle
gilt, ausser für einen
(
): wegen der Alterniertheit haben wir
.
Interpretation: Der Wert von entspricht der Projektion auf dem Tangentialraum der Randmasche.
Vermutlich ist es diese Überlegung, die hinter dem in jedem Kurs über Vektoranalysis gemachten
Vergleich des Integrals einer (n-1)-Form mit einem Durchfluss stecke. Ein Durchfluss besitzt nämlich
auch die Eigenschaft der Multilinearität (Siehe K. Jänich, S. 122).
Mit dem weiter unten eingeführten Begriff der Cartanschen Ableitung werden wir zudem die Variation
des über den Rand eines Würfels berechneten Integrals einer (n-1)-Form als eine spezielle n-Form
interpretieren können. Diese Variation wäre dann der Durchfluss dieser n-Form (ob es Sinn macht?)
durch den Würfel.
Konstruktion eines klein gedachten Randwürfels bei p
Wir betrachten einen n-dimensionalen Quader
mit Kantenlängen
und
interessieren uns für die Ränder des die n-Masche
lokal approximierenden n-Spates
. Wie sind genau diese Ränder gegeben? Unmittelbar bekommen wir bereits Ränder: es
sind die n-1-Spaten, die als
40
definiert werden, wobei der mit einem Akzent versehenen i-ten Vektor gar nicht erscheint
38
. Die
weitere Ränder sind (siehe das Schema in: K. Jänich, Vektoranalysis, S. 122 um die Verschiebung
„
“ leichter zu visualisieren: Zu jedem von den oben gegebenen Rändern gibt es den
„gegenüber stehenden“ Rand):
,
wobei
. Wegen der Linearität von ist dieser Ausdruck gleich
.
Einem sehr klein gedachten n-Spat
werden also kanonisch dessen n-1-dimensionalen Ränder
zugeordnet. Dabei gilt selbstverständlich, dass
(disjunkte Vereinigung).
Ferner versehen wir jeden Rand mit einer Orientierung. Für den Rand
suchen wir
deshalb zuerst eine berandete Karte. Die Abbildung bildet
auf
und
auf dem n-1-
dimensionalen Quader
ab. Und wenn eine Umordnung der
Basisvektoren von
ist (ein Isomorphismus also), welche den i-ten Basisvektor mit dem ersten
umtauscht, ist dann die gesuchte Karte . Diese Karte bildet
(injektiv und nicht surjektiv)
auf
und
auf
ab. Um dem Rand
eine Orientierung zu verleihen, nehmen wir einen
beliebigen Vektor aus
und schauen dann, ob die Orientierung der Vektorenliste
positiv oder negativ ist. Dabei ist
ein nach aussen weisender Vektor. Wie immer die Antwort, ob negativ oder positiv,
lautet, ist dann die Orientierung des gegenüber stehenden Randes
die umgekehrte.
Der Satz
Wir integrieren eine (n-1)-Form auf dem Rand des oben konstruierten Würfels , deren „untere
linke“ Ecke der Punkt p ist. Wegen ihren entgegen gesetzten Orientierungen paaren wir bereits die
Ränder
und
zusammen:
,
wobei
.
Der letzte Ausdruck hat dieselbe Form wie z.B.
, was gleich
ist.
Nehmen wir beispielsweise an, dass diese 4-Form stets 4 Vektoren unter den 5 Basisvektoren
(Vektoren in dieser Reihenfolge) nimmt, ist dann dieser Ausdruck gleich (wobei die Frage
des Vorzeichens der Summanden im allgemeinen Fall eine recht mühsame Sache ist):
38
Mit dieser Schreibweise gilt z.B.:
.
41
.
Das Integral
kann glücklicherweise leichter ausgedrückt werden:
.
Ein Rand
(beachte den Index!) des Würfels mit der „unteren linken“ Ecke p ist nämlich gleichwohl
der Rand
des Würfels mit der „unteren linken“ Ecke
. Wir können deshalb schreiben:
wobei das Vorzeichen
folgende Tatsache kompensiert
39
:
.
ist eine (n-1)-Form. Der Ausdruck
ist aber eine n-Form, das prüft man leicht. Es
ist die Cartansche Ableitung von .
Wir können also salopp schreiben:
□
Die Eigenschaft von , auf eine einzelne Masche so zu antworten, wie auf deren Rand (eine gute
verdeutschte Formulierung vom Stokes’schen Satz), überträgt sich auch auf Aggregate von Maschen.
Bei zwei benachbarten Maschen
und
mit einer gemeinsamen Seite heben sich in der
39
Es sei daran erinnert, dass für eine alternierende k-Form in einem n-dimensionalen Vektorraum V mit Basis
gilt:
, wobei eine auf
definierte Permutation
ist. Natürlich stimmt es nur, wenn für jedes mögliche k-Tupel
von unter Basisvektoren, der
Absolutbetrag von
denselben Wert hat. In unserem konkreten Fall gilt tatsächlich, dass
, für alle .
Zum Beispiel für und:
, weil die Signumfunktion der
Permutation
negativ ist. In eckigen Klammern wird auch der Index des
„überflüssigen“ vierten Vektors ( hat doch nur 3 Argumente) angegeben, weil diese Permutation auf alle
Basisvektoren von V definiert ist.
42
Integralsumme
die Beiträge der gemeinsamen Seite auf, da diese durch
die beide Maschen entgegengesetzte Orientierungen erhält. Denkt man sich nun eine berandete
kompakte orientierte Mannigfaltigkeit als ein einziges Aggregat von Maschen, so sieht man, wie sich
in der Summe die Beiträge der inneren Maschenseiten alle aufheben. Es muss also gelten (Stokes):
Wir sind jetzt soweit, dass wir eine gute erste Vorstellung vom Stokes’schen Satz gewonnen haben. Da
jedoch der Formalismus um das noch nicht eingeführte Dachprodukt sehr wichtig ist, sollen wir uns
noch mit weiteren Begriffen und Ergebnissen vertraut machen.
43
Alles wird komplizierter!
Das Dachprodukt
Eine konzeptuelle Grundlage aus der linearen Algebra
Zwei Behauptungen werden hier gemacht: Die erste ermöglicht die Definition der r-te äusseren Potenz
von einem endlich dimensionalen Vektorraum und die zweite ermöglicht die Definition des
Dachprodukts als eine Art Multiplikation zwischen zwei äusseren Potenzen jeweils von einem selben
Vektorraum .
Behauptung: Sei ein Vektorraum der Dimension über dem Körper und eine natürliche
Zahl. Es gibt einen Vektorraum endlicher Dimension über , den wir mit
notieren und r-te äussere
Potenz von nennen, und eine r-lineare alternierende Abbildung
;
,
welche die folgenden zwei Eigenschaften hat.
(1) Wenn ein Vektorraum über und
eine r-lineare alternierende Abbildung ist,
dann gibt es genau eine Abbildung
, sodass für alle r-Tupel
von
Vektoren von gilt:
.
(2) Wenn
eine Basis von ist, bildet dann di Menge aller
, für
eine Basis von
.
Die Eigenschaften (1) und (2) besagen zusammen, dass jede r-lineare alternierende Abbildung von
nach bis auf einem Isomorphismus die r-te äussere Potenz von bestimmt, falls die Dimension
des Bildes
gross genug ist.
Beweis der Aussage „Es gibt eine r-lineare alternierende Abbildung
“: Hier
müssen wir eine Funktion konkret angeben und ihre r-Linearität und Alterniertheit prüfen. Wir geben
uns eine Basis
von . Natürlich reicht es, eine r-lineare und alternierende Funktion für die
Basisvektoren zu definieren
40
. Damit haben wir aber noch keine Definition in Form von einer konkreten
Formel. Wir geben uns deshalb folgende Vektoren:
40
Wir würden einfach sagen: Sei r-linear und so definiert, dass
, wenn eine
Permutation ist und sonst. Eine lineare Funktion braucht nämlich lediglich für Basisvektoren definiert zu
sein.
44
Sei ferner die -Matrix
, welche sich vom oben stehenden Gleichungssystem ablesen lässt.
Wie sieht denn unsere multilineare alternierende Abbildung aus?
Fall : Bekanntlich gilt:
Allgemeinfall :
wobei diese Summe über alle mögliche Permutationen
läuft. Diese Summe
lässt sich in eine Doppelsumme zerlegen, indem alle Permutationen, welche
auf eine
gegebene r-elementigen Teilliste
abbildet, zusammen genommen werden. Wir
schreiben dann:
wobei der Index der ersten Summe über alle r-elementigen Teillisten
von und
der Index der zweiten Summe über alle Permutationen von einer solchen Teilliste
läuft.
wobei
die Determinante einer aus der Matrix extrahierten -Untermatrix ist.
45
Somit haben wir unsere Abbildung explizit für beliebige r-Tupel
von Argumenten in
definiert. Dass r-linear und alternierend ist, versteht sich jetzt von selbst.
41
Zum Beweis der Eigenschaft (2): Das Bild der Abbildung
wird von aufgespannt,
wobei eine Basis von
ist. Die Liste aller r-Tupel
, für
ist eine
solche Basis. Die Anzahl ihrer Elemente ist
, da ein selber
bis zu mal im r-Tupel vorkommen
kann. Nun werden alle r-Tupel
, bei denen ein Vektor
mehrmals vorkommt, wegen der
Alterniertheit von auf die Null abgebildet. Die Anzahl der r-Tupel , die von nicht auf die Null
abgebildet werden, ist also nicht
sondern
. Geben wir uns ferner eine Teilliste
von
und nehmen wir oBdA an, dass es
gilt. Wegen der Alterniertheit von sind für
jede Permutation
das Bild von
und dasjenige von
kollinear, weil
. Da es solche
Permutationen gibt, ist
die Anzahl linear unabhängiger Elemente von . Eine Basis von
zählt also so viele Elemente. Jeder Basisvektor entspricht eins zu eins einer möglichen
Teilliste
mit
.
Wir notieren
42
deshalb die Basiselemente von
mit
, wobei jeweils für eine Menge
mit
steht, von denen es insgesamt
gibt.
Zum Beweis der Eigenschaft (1): Eine lineare Abbildung wird eindeutig durch die Werte definiert, die
sie bei einer Basis ihrer Ausgangsmenge annimmt. Wir können also problemlos eine lineare Abbildung
folgenderweise definieren:
□
Behauptung: Für je zwei natürliche Zahlen r und s gibt es genau eine bilineare Abbildung
;
,
wobei
und
alle Vektoren von sind. Der Beweis soll vom Leser gemacht werden.
Das Dachprodukt für Differentialformen
Das Dachprodukt (auch äusseres Produkt) zweier Elemente jeweils einer äusseren Potenz von
ist bei der Bildung der sogenannten äusseren Algebra von ihre Multiplikation, welche
antikommutativ ist. Diese Algebra ist eine graduierte Algebra, weil sie sich als direkte Summe
darstellen lässt.
41
Wenn nur auf die Basisvektoren definiert wird (siehe vorige Fussnote zum Thema), haben wir mehr mit einer
Wunschliste von erwarteten Eigenschaften, die haben muss, als mit einer eigentlichen – d.h. wohldefinierten
– Definition zu tun. Und erst die konkrete Formel von macht es klar, ob tatsächlich r-linear und alternierend
ist.
42
Ein Basisvektor von
kann nicht mit
notiert werden, weil alle
, für
, einem selben Basisvektor entsprechen. Es ist wohl die Menge
, die einen
Basisvektor von
eindeutig bestimmt. Deshalb die Notation
.
46
Zurück zur Vektoranalysis: Wir wählen einen fest und betrachten
als der Vektorraum
aller alternierenden k-Formen auf
, wobei
die Dimension hat. Dann
43
ist
.
Elemente von
heissen k-Vektoren. Wir werden zeigen, dass sich diese k-Vektoren als
mit
schreiben lassen. Dabei ist
der Dualraum
von
,
wenn eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist.
Die Eigenschaften des Dachproduktes sind:
- Das Dachprodukt ist bilinear.
- Das Dachprodukt ist assoziativ.
- Das Dachprodukt ist antikommutativ,
d.h. für
und
gilt
.
- Die 0-Form
ist das Eins-Element.
Behauptung: Sei . Bezeichnet
die kanonische Basis von
und
die dazu duale
Basis von
, d.h. mit
, so gilt
44
wobei der Fall A ist, wenn
durch eine Permutation aus
hervorgeht. Es ist z.B.
bei
nicht der Fall. Die Aussage folgt aus der Antikommutativität des
Dachproduktes. Im Fall A ist es klar. Ansonsten gibt es ein so, dass für alle ,
. Für diesen und
für jede lineare Kombination von
gilt dann
.
Behauptung: Sind
die komponenten der Form
bezüglich einer
Basis
von
und bezeichnet
die dazu duale Basis, so gilt
Das folgt unmittelbar aus der früheren Aussage. Soweit haben wir zwei Sachen erreicht: Zum einen
lässt sich jede alternierende k-Form als Summe von k-Vektoren – jedes Vektor aus
stammend
– zerlegen, des Weiteren haben wir das Dachprodukt für alle alternierenden k-Formen definiert.
Folgende Definition wird dann überflüssig, wird trotzdem gegeben.
Definition: Sei V ein reeller Vektorraum, sei
und
. Dann heisst die durch
43
Nein,
können wir nicht setzen! Irreführend ist hier die Schreibweise: Bei den Ausdrücken
und
kann es sich nicht um denselben handeln: d.h. man findet für keinen mit
.
Für sieht man das gut:
und
.
44
ist das Kronecker-Symbol. Und der Ausdruck
ist selbstverständlich als
, für
zu lesen.
47
definierte alternierende -Form
das Dachprodukt von und .
Versuchen wir, diese Formel herzuleiten! Betrachten wir naiv den Fall
. Wir sehen zuerst,
dass z.B.
in
nicht linear ist, weil
mehrmals vorkommt.
Andererseits muss zwingend jeder
überhaupt vorkommen. Wenn aber jeder
genau einmal
vorkommen muss, muss der Grad der neuen Form gleich der Summe des Grades von mit dem Grad
von sein. So kommen wir schon auf unseren ersten Kandidaten
, für eine Permutation von .
Zum Beispiel
. Wir haben also
und
mit
und genommen. Wir wissen bereits, dass dieser Kandidat multilinear ist. Seine Antisymetrie geht
aber verloren, sobald ein Argument aus gleich ist, wie ein Argument aus
45
. Präziser gesagt: sobald
es zwei Indizien so gibt, dass einerseits
und andererseits sich und nicht
in derselben Partition von
befinden.
Bei unserem obigen Beispiel gilt aber leider
. Die Permutation, mit der unser
definiert wird, ist die Identität. Nimmt man aber folgende Permutation:
, definiert
man einen neuen Produkt
. Es gilt
. Man
kann also gebrauchen, um unseren Kandidaten zu retten. Unser neuer Kandidat ist also
)
. Wir freuen uns, dass jetzt
. Usw.
46
Man kommt
selbst auf die oben stehende grosse Summe.
Beide Definitionen übereinstimmen: dies braucht man nur für die -Tupeln
zu prüfen.
Behauptung: Das Dachprodukt ist mit linearen Abbildungen verträglich:
Definition: Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Wir definieren das Dachprodukt
von Differentialformen auf punktweise, d.h. durch
für jeden .
Wir merken: Anstatt den k-ten Vektor der dualen Basis
von
betrachten wir ab jetzt
.
Die Cartansche Ableitung (der definierende Satz)
Behauptung: Ist eine Mannigfaltigkeit, so gibt es genau eine Möglichkeit, eine Sequenz linearer
Abbildungen
45
Wenn hingegen zwei Argumente gleich sind und zugleich Argumente aus derselben Form sind, überträgt sich
die Antisymetrie dieser Form auf den Kandidaten.
46
In der Menge aller dieser Terme (jeder einer Permutation entsprechend) findet man zu jedem
den entsprechenden Term
. Beide zugrunde
liegende Permutationen unterscheiden sich bei ihrem Signum, sodass im Falle
ihre signierte Summe
null wird. Natürlich muss die signierte Summe nicht gebildet werden, wenn sich und in derselben
Partition befinden (bzgl. der zugrunde liegenden Permutation ), aber es stört auch nicht.
48
so einzuführen, dass folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(a) Für
hat
die übliche Bedeutung als das Differential von .
(b) Komplex-Eigenschaft: .
(c) Produktregel:
für
.
Beweisidee: Wir beschränken uns zuerst auf dem Kartengebiet einer Karte . So lässt sich jedes
als
schreiben. Wir suchen einen Kandidat für einen
Ableitungsoperator, der die Bedingungen (a), (b), (c) genügt, und nennen wir ihn
zur
Unterscheidung mit dem üblichen Differentialoperator erwähnt in (a). Dann machen wir einen
Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis. Und so viel zum Kandidaten:
Behauptung (Beweis in: Jänich, Vektoranalysis, S. 145): Die Cartansche Ableitung ist mit
differenzierbaren Abbildungen verträglich, d.h. ist eine solche Abbildung, so gilt
Für 0-Formen, also differenzierbare reellwertige Funktionen, ist
nur eine andere
Schreibweise der Kettenregel, denn
und
.
Beweis des Stokes’schen Satzes
Den Satz von Stokes können wir dann sauber mit diesem Formalismus beweisen. Siehe Jänich,
Vektoranalysis, S. 152. Den Beweis führen wir zuerst für den einfachen Fall, wenn ein n-
dimensionaler berandeter Kartengebiet ist, wenn also
. Die Schwierigkeit dabei ist zu
verstehen, warum auf folgende (n-1)-Form differenziert werden muss:
wobei die Notation bedeutet, dass der Index bzw. der zum Index gehörige Element ausgelassen
werden soll und wobei
. Wir bestimmen dann beide im Stokes’schen Satz vorkommenden
Integranden
und
, wobei
die Inklusion des
Randes in
bezeichnet:
Der erste Integrand:
Jeder Summand der Doppelsumme ist Null, wenn . Also gilt
49
Der zweite Integrand:
Nämlich
und
für .
Soviel zu den Integranden und nun zur Integration selbst. Es wird über die herunter geholten
Integranden integriert:
Nach weiterer Berechnung stellen wir fest, dass tatsächlich
gilt. Somit sind wir mit
dem ersten Schritt des Beweises fertig. Der nächste ist der Beweis des Satzes für einen Kartengebiet.
Sei eine Karte von . Nach der Transformationsformel für die Integration auf Mannigfaltigkeiten
haben wir:
Man kann
durch Null ausserhalb zu einer Form
fort, was wegen der
Kompaktheit des Trägers
möglich ist. Dann ist also
was zu zeigen war. □
Den dritten Schritt des Beweises ist für den Fall, wenn einem einzigen Kartengebiet nicht gleich ist.
Es ist der allgemeine Fall. Siehe dazu: Jänich, Vektoranalysis, S. 156.
50
Die Vektoranalysis der Physiker
Die klassische Vektoranalysis des 19. Jahrhunderts handelt, wie man im Nachhinein leicht sagen kann,
von der Cartanschen Ableitung und dem Satz von Stokes, allerdings in einer Notation, in der diese
Gegenstände nicht auf dem ersten Blick gleich wiederzuerkennen sind.
Für eine offene Teilmenge
bezeichne den Vektorraum der differenzierbaren
Vektorfelder und
den der differenzierbaren Funktionen auf .
Die vektorwertigen 1- bzw. 2-Formen
und
sollen das vektorielle Linienelement
und das vektorielle Flächenelement
und die gewöhnliche reellwertige 3-Form (kein Vektor also)
soll das Volumenelement von heissen.
Übersetzungsisomorphismen sind durch
gegeben. Diese Konvention kann als ein Wörterbuch für die Übersetzung von klassischer
Vektoranalysis in den Cartanschen Kalkül und umgekehrt verstanden werden (Die Definition der
Operatoren div und rot findet man übrigens im Anhang):
Dieses Diagramm ist kommutativ. Aus dem folgt, dass für alle Funktionen und alle Vektorfelder
gilt: und : . Der Gauss’scher Integralsatz folgt ebenfalls:
sowie der (ursprüngliche, d.h. im Sinne der Physiker) Satz von Stokes:
51
Weiter führende Stichwörter sind:
- Das Poincaré-Lemma
- der de Rham-Komplex und das de Rham-Theorem (Oberbegriff: Differentialtopologie)
- die 4 Maxwellschen Gesetze der Elektrodynamik (und das Theorem von Ostrogradski).
52
Anhang (aus Wikipedia)
Koordinatenfreie Darstellung der Divergenz
Für die Interpretation der Divergenz als „Quellendichte“ ist die folgende koordinatenfreie
Definition wichtig (hier für den Fall n=3)
Dabei ist ein beliebiges Volumen, zum Beispiel eine Kugel oder ein Parallelepiped;
ist sein Inhalt. Es wird über den Rand dieses Volumenelements integriert, ist die
nach außen gerichtete Normale und das zugehörige Flächenelement.
Für n > 3 kann diese Aussage leicht verallgemeinert werden, indem man n-dimensionale
Volumina und ihre (n-1)-dimensionalen Randflächen betrachtet. Bei Spezialisierung auf
infinitesimale Würfel oder Quader erhält man die bekannte Darstellung in kartesischen
Koordinaten
Herleitung der kartesischen Darstellung
Zur Herleitung der kartesischen Darstellung der Divergenz aus der koordinatenfreien
Darstellung betrachte einen infinitesimalen Würfel .
Nun wendet man den Mittelwertsatz der Integralrechnung an, wobei die gestrichenen Größen
aus dem Intervall sind.
Somit bleibt nur die Summe der Differenzenquotienten übrig
53
,
die im Grenzübergang zu partiellen Ableitungen werden:
Relation with the exterior derivative
One can express the divergence as a particular case of the exterior derivative, which takes a 2-
form to a 3-form in R
3
. Define the current two form
.
It measures the amount of "stuff" flowing through a surface per unit time in a "stuff fluid" of
density moving with local velocity F. Its exterior derivative is then given
by
Koordinatenunabhängige Definition der Rotation
Zu dem Integralsatz von Stokes passt die koordinatenunabhängige Definition der Rotation als
infinitesimale Flächendichte der Zirkulation (alias „Wirbeldichte“):
Dabei ist eine infinitesimale Fläche senkrecht zu
Aus dieser Formel ergibt sich unter anderem, dass allgemein für krummlinige orthogonale
Koordinaten (z. B. für sphärische oder zylindrische Polarkoordinaten, elliptische oder
parabolische Koordinaten usw.) die folgende nützliche Beziehung gilt:
Dabei ist mit den orthonormierten Einheitsvektoren und den
infinitesimalen Längen Die zwei anderen Komponenten der Rotation
ergeben sich durch zyklische Vertauschung der Indizes (3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1). Die
Basisvektoren , die Längenparameter a
i
und die Vektorkomponenten A
i
können von allen
drei u-Variablen abhängen.
Eine weitere Folgerung aus der koordinatenunabhängigen Definition ist, dass das Vektorfeld
sich bei räumlichen Drehungen in gleicher Weise dreht wie das Vektorfeld . In
Formeln: , wobei der Strich die gedrehten Felder bezeichnet. Wegen
54
der Gleichheit können die Klammern dann auch wieder weggelassen werden. Somit erzeugt
die Rotation ein 3-dimensionales Vektorfeld im physikalischen Sinn. Zum Beweis betrachtet
man eine Drehung zusammen mit und . Durch Einsetzen in das
Integral findet man weil das Skalarprodukt invariant
unter Drehungen ist. Setzt man für die Einheitsvektoren eines gedrehten
Koordinatensystems ein, so besagt die letzte Gleichung, dass die Koordinaten von in
dem gedrehten System dieselben sind wie die Koordinaten von im ursprünglichen
System. Das entspricht dem behaupteten Verhalten des Rotationsfeldes.
Differential forms
In 3 dimensions, a differential 0-form is simply a function ; a differential 1-form is the
following expression: a differential 2-form is the formal sum:
and a differential 3-form is defined by a single term:
(Here the a-coefficients are real functions; the "wedge products", e.g. can
be interpreted as some kind of oriented area elements, , etc.) The exterior
derivative of a k-form in is defined as the -form from above (and in if, e.g.,
, then the exterior derivative leads to
The exterior derivative of a 1-form is therefore a 2-form, and that of a 2-form is a 3-form. On the
other hand, because of the interchangeability of mixed derivatives, e.g. because of
the twofold application of the exterior derivative leads to 0.
Thus, denoting the space of k-forms by and the exterior derivative by d one gets a
sequence:
Here is the space of sections of the exterior algebra vector bundle over R
n
,
whose dimension is the binomial coefficient note that for or
Writing only dimensions, one obtains a row of Pascal's triangle:
the 1-dimensional fibers correspond to functions, and the 3-dimensional fibers to vector
fields, as described below. Note that modulo suitable identifications, the three nontrivial
occurrences of the exterior derivative correspond to grad, curl, and div.
Differential forms and the differential can be defined on any Euclidean space, or indeed any
manifold, without any notion of a Riemannian metric. On a Riemannian manifold, or more
generally pseudo-Riemannian manifold, k-forms can be identified with k-vector fields (k-
55
forms are k-covector fields, and a pseudo-Riemannian metric gives an isomorphism between
vectors and covectors), and on an oriented vector space with a nondegenerate form (an
isomorphism between vectors and covectors), there is an isomorphism between k-vectors and
-vectors; in particular on (the tangent space of) an oriented pseudo-Riemannian
manifold. Thus on an oriented pseudo-Riemannian manifold, one can interchange k-forms, k-
vector fields, -forms, and -vector fields; this is known as Hodge duality.
Concretely, on this is given by:
• 1-forms and 1-vector fields: the 1-form corresponds to the vector field
• 1-forms and 2-forms: one replaces by the "dual" quantity (i.e., omit dx), and
likewise, taking care of orientation: corresponds to and
corresponds to Thus the form corresponds to the "dual form"
Thus, identifying 0-forms and 3-forms with functions, and 1-forms and 2-forms with vector
fields:
• grad takes a function (0-form) to a vector field (1-form);
• curl takes a vector field (1-form) to a vector field (2-form);
• div takes a vector field (2-form) to a function (3-form)
On the other hand the fact that corresponds to the identities and
for any function or vector field
Grad and div generalize to all oriented pseudo-Riemannian manifolds, with the same
geometric interpretation, because the spaces of 0-forms and n-forms is always (fiberwise) 1-
dimensional and can be identified with scalar functions, while the spaces of 1-forms and
-forms are always fiberwise n-dimensional and can be identified with vector fields.
Curl does not generalize in this way to 4 or more dimensions (or down to 2 or fewer
dimensions); in 4 dimensions the dimensions are
so the curl of a 1-vector field (fiberwise 4-dimensional) is a 2-vector field, which is fiberwise
6-dimensional (one has which yields a sum of six
independent terms), and cannot be identified with a 1-vector field. Nor can one meaningfully
go from a 1-vector field to a 2-vector field to a 3-vector field ( ), as taking the
differential twice yields zero ( ). Thus there is no curl function from vector fields to
vector fields in other dimensions arising in this way.
However, one can define a curl of a vector field as a 2-vector field in general, as described
below.
56
Quellen
Klaus Jänich, Vektoranalysis, 2. Auflage, 1993, Springer Verlag
Konrad Königsberger, Analysis 2, 1. Auflage, 1993, Springer Verlag
Beweis des Schrankensatzes in
:
Sylvie Delabrière, Cours de mathématiques 4, DEUG 2, analyse vectorielle, 1996-97,
Université Pierre et Marie Curie, Paris 6. Seite 16
Beweis des Satzes vom konstanten Rang (Rangsatz):
Laurent Schwarz, Analyse II. Calcul différentiel et équations différentielles, 1992, Hermann
Serge Lang, Algèbre linéaire 2, 1976, InterEditions, Paris
Wikipedia:
http://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_(Mathematik), Stand Juli 2017
http://de.wikipedia.org/wiki/Rotation_(Mathematik), Stand Juli 2017
http://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(mathematics), Stand Juli 2017
