Aspects de la th´eorie de Runge

Approximation des fonctions holomorphes

d´eﬁnies sur des parties quelconques de C

par des suites de polynˆomes

Table des mati`eres

1 Une caract´erisation de la connexit´e simple 2

1.1 Conventions et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 formule de Cauchy pour les compacts . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Quelques notions de topologie dans C 7

3 Le th´eor`eme de Runge pour les compacts 11

3.1 le th´eor`eme d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 R

est localement compact. 19

5 Les composantes compactes d’un espace localement compact 21

6 Le th´eor`eme de Runge pour des domaines quelconques 23

6.1 Les paires de Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.2 Des trous ennuyeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.3 Caract´erisation des paires de Runge . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7 Annexe : Espaces localement compacts

et espaces de Tychonoﬀ 28

La th´eorie d’approximation de Carl Runge s’inscrit dans la suite du fameux

th´eor`eme de Weierstrass selon lequel toute fonction r´eelle continue sur un inter-

valle compact s’y laisse approcher uniform´ement par une suite de polynˆomes.

Runge part du constat que l’on ne peut en g´en´eral pas calculer les valeurs d’une

fonction holomorphe par la formule de Cauchy mais qu’il faut approcher cette

fonction par des fonctions rationnelles.

Ce travail s’attachera `a montrer l’existence d’une telle approximation des fonc-

tions holomorphes, d’abord dans le cas o`u ces fonctions sont d´eﬁnies sur des

compacts de C, puis dans le cas g´en´eral de domaines quelconques dans C. Les

suites de fonctions rationnelles sont cependant diﬃciles `a donner concr`etement,

sauf dans quelques cas simples. On renvoie `a [Ga] pour la donn´ee explicite de

polynˆomes d’approximation.

Ce travail veut ´egalement montrer les notions de topologie sur lesquelles repose

la th´eorie d’approximation de Runge. Ce sera ainsi l’occasion de s’int´eresser

aussi bien aux courbes de Jordan qu’`a la compacit´e locale de C et `a l’existence

de compacts ouverts dans C.

1 Une caract´erisation de la connexit´e simple

1.1 Conventions et rappels

- Une somme formelle de chemins ferm´es, et plus g´en´eralement une com-

binaison lin´eaire

i=1

, avec c

∈ Z, s’appelle un cycle. On d´eﬁnit

l’int´egrale d’une fonction f : C → C sur un cycle γ =

i=1

f(ζ) d ζ :=

i=1

f(ζ) d ζ.

- On cherche `a d´enoter l’op´eration consistant `a mettre bout `a bout deux

chemins. On ne peut pas vraiment utiliser l’´ecriture additive parce que

cette op´eration n’est pas commutative. L’´ecriture multiplicative serait

quant `a elle mieux indiqu´ee si cette multiplication ´etait distributive par

rapport `a une addition, ce qu’elle n’est bien sˆur pas. Aussi conviendra-t-

on de la notation propos´ee par [FrBu] et optera-t-on pour le symbole ⊕.

Soient α : [0, 1] → C et β : [0, 1] → C deux chemins. Uniquement dans le

cas o`u α(1) = β(0), on d´eﬁnit

(α ⊕ β)(t) :=



α(2t) pour 0 ≤ t ≤ 1/2,

β(2t − 1) pour 1/2 ≤ t ≤ 1.

Cette op´eration est associative `a la param´etrisation pr`es.

- On rappelle que la fonction suivante, d’abord d´eﬁnie pour des chemins

ferm´es γ, mais se g´en´eralisant sans probl`eme aux cycles,

C − |γ| −→ Z; z 7→ U

(z) :=

2πi

dζ

z − ζ

est la fonction ‘nombre de tours’, qui indique le nombre de tours complets

qu’eﬀectue le chemin γ autour de z. Si U

(z) est positif (resp. n´egatif), γ

tourne |U

(z)| fois autour de z dans le sens positif (resp. n´egatif). Il s’agit

d’une fonction localement constante `a valeurs enti`eres. Elle permet de

d´eﬁnir l’int´erieur et l’ext´erieur d’un cycle γ. L’ext´erieur (resp. l’int´erieur)

de γ est l’ensemble des z pour lesquels U

(z) = 0 (resp. U

(z) 6= 0).

- Un cycle est dit 0-homologue dans D ⊂ C si son int´erieur est dans D.

- On d´enote par O(D) l’ensemble des fonctions holomorphes sur D ⊂ C.

1.2 formule de Cauchy pour les compacts

Soit f une fonction holomorphe sur un voisinage ouvert d’un rectangle ferm´e

R. On rappelle que la formule de Cauchy pour ce rectangle de bord ∂R est :

2πi

∂R

f(ζ)

ζ − z

d ζ =



f(z) si z ∈

0 si z 6∈

L’int´egrale est ici prise le long d’un chemin parcourant le bord du rectangle une

seule fois dans le sens positif.

Aﬃrmation 1.1 (Formule de Cauchy pour les compacts) Soit K un com-

pact non vide dans un domaine D. Alors il existe un nombre ﬁni de segments

Soit la param´etrisation p(t) : [0, 1] → [0, 1] donn´ee par

p(t) :=







1/2 t 0 ≤ t < 1/2

t − 1/4 1/2 ≤ t < 3/4 .

2t − 1 3/4 ≤ t ≤ 1

Pour tous chemins α, β et γ [0, 1] → C avec α(1) = β(0) et β(1) = γ(0), on v´eriﬁe que

[(α ⊕ β) ⊕ γ] ◦p(t) = [α ⊕ (β ⊕ γ)] (t). Sur l’ensemble des chemins [0, 1] → C, on d´eﬁnit ensuite

une relation d’´equivalence :

α ∼ β :⇔ ∃n ∈ Z avec α ◦ p

= β,

On a p

:= id

[0,1]

. Nous appelons P le groupe engendr´e par p et E l’ensemble des chemins

dans C. Alors θ : E × P → E ; θ(α, p) = α ◦ p d´eﬁnit une action de P sur E, et on peut

exprimer autrement la relation d’´equivalence :

α ∼ β :⇔ α ∈ w(β),

o`u w(β) := {β◦p; p ∈ P } est l’orbite de β. On a l’´egalit´e des classes [(α⊕β)⊕γ] = [α⊕(β⊕γ)],

et en ce sens, l’op´eration de mise bout `a bout de chemins ⊕ est associative.

(horizontaux ou verticaux) de mˆeme longueur σ

, . . . , σ

dans D − K tels que

pour toute fonction f ∈ O(D) :

f(z) =

2πi

ν=1

f(ζ)

ζ − z

d ζ , ∀z ∈ K. (1)

Preuve : On d´eﬁnit la distance entre deux en-

sembles non vides A et B :

dist (A, B) := inf{|a − b|; a ∈ A, b ∈ B}.

On consid`ere, sans restriction `a la g´en´eralit´e, un

domaine D born´e ainsi qu’un compact K ⊂ D.

Alors δ := dist (K, ∂D) > 0.

On pose sur le com-

pact K un quadrillage parall`ele aux axes du plan

de Gauss C uniquement compos´e de carr´es de cˆot´e

c tel que

√

2 c < δ, i.e. des carr´es dont la longueur

de la diagonale est plus petite que la distance entre

K et le bord de D. Alors l’ensemble des carr´es Q

satisfaisant `a Q ∩K 6= ∅ forment un recouvrement

ﬁni Q

, . . . , Q

de K, et tous les Q

, κ = 1, ···, k,

sont contenus dans D :

K ⊂

[

κ=1

⊂ D.

La premi`ere inclusion est claire :

κ=1

est un recouvrement de K. Nous

consid´erons la seconde inclusion. On montre que Q

⊂ D, pour κ = 1, . . . , k.

On choisit pour ce faire un point c

∈ Q

∩ K. Alors par le choix de c, chaque

point dans le carr´e Q

a une distance non nulle avec le bord de D. Il en suit

que tout le carr´e est dans D et la seconde inclusion est claire.

Chaque bord ∂Q

peut ˆetre vu comme la trace d’un chemin ferm´e form´e par

la mise bout `a bout de quatre chemins droits, de quatre segments orient´es

κ, i

, i = 1, . . . , 4. Pour tout le recouvrement Q

, . . . , Q

, il y a donc 4 k =: N

segments associ´es. On ne consid`ere ensuite que les segments σ

qui ne sont pas

`a double, i.e. ceux dont la trace n’est pas identique `a une autre |σ

| = |σ

On appellera ces segments σ

, . . . , σ

les segments ext´erieurs. Par la suite, on

identiﬁera un chemin σ et sa trace |σ|. On montre que

[

ν=1

⊂ D − K. (2)

Cette distance n’est pas nulle. Pour s’en convaincre : La fonction distance: K × ∂D → R;

(x, y) 7→ distance(x, y) est continue sur le produit cart´esien de deux compacts, i.e. sur un

compact. Elle a donc un minimum en un (x

, y

). Or ce point x

de K ⊂ D est un point

int´erieur de D. Il existe donc une boule de rayon non nul centr´ee en x

qui se trouve enti`erement

dans D. La distance entre K et ∂D est donc au moins de ce rayon.

Il suﬃt de voir que ∀ν, K ∩ σ

= ∅. En

eﬀet, si ce n’´etait pas le cas, alors il exis-

terait un autre segment σ

avec σ

, ce qui, par hypoth`ese, ne peut pas

ˆetre le cas. Le dessin ci-contre montre

que les segments qui sont `a l’ext´erieur de

K sont exactement ceux qui ne sont pas

coupl´es en deux segments d’orientations

oppos´ees.

De l`a, avec la formule de Cauchy pour

les rectangles et en gardant `a l’esprit que

pour un z en dehors du rectangle d’int´e-

gration, la formule vaut 0, on peut ´ecrire

κ=1

∂Q

f(ζ)

ζ − z

d ζ =

ν=1

f(ζ)

ζ − z

d ζ pour tout z ∈

[

κ=1

◦

car `a l’exception des segments que j’ai appel´es ext´erieurs, tous les autres seg-

ments se laissent coupler de mani`ere `a ce que la somme des int´egrales sur l’un et

l’autre segment s’annule (orientations oppos´ees). On constate que la formule de

Cauchy pour les compacts est non seulement valable pour tout point int´erieur z

de n’importe quel carr´e, z ∈

, µ = 1, . . . , k, mais ´egalement pour tout point

z ∈ K ∩∂Q

, κ = 1, . . . , k, en vertu du fait qu’aucun point z ∈ K n’est sur l’un

des segments ext´erieurs, conform´ement `a (2). Donc la formule (1) est v´eriﬁ´ee

pour tout z ∈ K. 

On d´eﬁnit le cycle Γ :=

comme la somme formelle (unique) des courbes

ferm´ees de la forme C

= σ

⊕σ

⊕···⊕σ

. Ces segments ext´erieurs auront bien

sˆur ´et´e r´eindex´es si n´ecessaire de mani`ere `a rendre la mise bout `a bout possible.

Ce cycle est 0-homologue dans D, parce qu’il est un cycle form´e exclusivement

de bords de carr´es qui sont dans D, et parce que la somme (formelle) de chemins

ferm´es 0-homologues dans un domaine forme un cycle 0-homologue dans ce

mˆeme domaine.

Par le th´eor`eme de Cauchy g´en´eralis´e aux cycles, on sait alors

que ∀z ∈ K ⊂



κ=1



◦

= Int Γ,

2πi

ν=1

f(ζ)

ζ − z

d ζ =

2πi

f(ζ)

ζ − z

d ζ = U

(z) · f(z),

Chaque courbe ferm´ee C

entoure un ensemble de (une ou plusieurs) composantes connexes

de K distantes deux `a deux de moins de 2c, o`u c est le cˆot´e d’un carr´e du quadrillage. Les

composantes connexes de K distantes entre elles de plus de 2c sont entour´ees de courbes

ferm´ees diﬀ´erentes.

L’aﬃrmation d´ecoule directement de la lin´earit´e de la fonction γ 7→ U

(z). On entend par

l`a que γ

+ γ

7→ U

+γ

(z) = U

(z) + U

(z).

est 0-homologue dans D signiﬁe que U

(z) 6= 0 ⇒ z ∈ D. De l`a, U

+γ

(z) = U

(z) +

(z) 6= 0 ⇒ z ∈ D.

En comparant cette expression avec l’expression (1), on voit que pour tout

z ∈ K, on a U

(z) = 1.

De plus, on a clairement que U

(z) = 0 pour tout z ∈ C − D, puisqu’aucun

carr´e Q

n’est dans C − D. L’aﬃrmation qui suit est ainsi montr´ee :

Aﬃrmation 1.2 Soit K un compact dans un domaine D ⊂ C. Alors il existe

un cycle Γ dans D − K tel que

(z) = 1, ∀z ∈ K,

(z) = 0, ∀z ∈ C − D.

Remarquons que ce qui a ´et´e montr´e ci-dessus est valable pour un compact

quelconque, et notamment pour un compact qui a une inﬁnit´e de composantes

connexes; l’important ´etant qu’il existe toujours un recouvrement ﬁni de ce

compact par des carr´es.

On va donner `a pr´esent une caract´erisation de la connexit´e simple en termes

topologiques. Rappelons cette notion :

D´eﬁnition 1.1 Soit α : [0, 1] → D une courbe ferm´ee dans D, α(0) = α(1) =

. On dit que α est 0-homotope dans D si α est homotope au chemin constant

β(t) := z

D´eﬁnition 1.2 (connexit´e simple d’un domaine de C) Un domaine dans

lequel tout chemin ferm´e est 0-homotope est dit simplement connexe.

Un domaine simplement connexe est un domaine dit ´el´ementaire : toute fonc-

tion holomorphe sur un tel domaine poss`ede une primitive d´eﬁnie sur tout ce

domaine.

De la version homotopique du th´eor`eme de Cauchy, on sait en eﬀet que si α est

un chemin ferm´e 0-homotope dans D,

f dζ = 0

pour toute fonction f holomorphe sur D. Donc si D est simplement connexe,

f dζ = 0

pour tout chemin ferm´e α dans D et toute fonction f holomorphe sur D. Par

un raisonnement analogue `a celui de Morera, on montre alors que f poss`ede

une primitive sur D.

Aﬃrmation 1.3 Les propositions suivantes sont ´equivalentes pour un domaine

D ⊂ C :

i) D est simplement connexe.

ii) Si A = A

∪A

est une d´ecomposition de C−D en deux ensembles disjoints

ferm´es, alors

est compact ⇔ A

= ∅, i ∈ {1, 2}.

Preuve : i) ⇒ ii) : Soit D simplement connexe et A

compact. Dans ce cas,

U = A

∪ D est ouvert puisque C − U = A

est ferm´e. Selon le th´eor`eme

pr´ec´edent, il existe un cycle Γ dans U − A

= D avec U

(a) = 1 pour tout

a ∈ A

. Mais puisque Γ est 0-homologue, A

doit ˆetre vide.

ii) ⇒ i) : Supposons que D n’est pas simplement connexe, et soit Γ un cycle

dans D qui n’est pas 0-homologue. On pose

= {z ∈ C − D; U

(z) 6= 0}

= {z ∈ C − D; U

(z) = 0}.

Il est clair que C −D = A = A

∪A

avec A

∩A

= ∅, et A

est born´e et non

vide. On montre que A

et A

sont ferm´es. Soit une suite convergente (a

) dans

, i ∈ {1, 2}. On a que la limite a

est dans A, qui est ferm´e. En particulier

6∈ |Γ|, et U

) est bien d´eﬁni. Mais puisque la fonction ‘nombre de tours’

est localement constante, on a l’implication

→ a

=⇒ U

) → U

De l`a, a

∈ A

, et A

est ferm´e. 

2 Quelques notions de topologie dans C

Cette section a pour but de mettre en lumi`ere certaines propri´et´es topologiques

du plan C qui sont souvent utilis´ees dans la suite. On articulera cette section

autour de la notion de composante connexe d’une partie de C. On verra qu’une

courbe ferm´ee simple partage C en une composante born´ee et une composante

non born´ee, pour remarquer que pour un compact K, C − K poss`ede toujours

une composante non born´ee, et que celle-ci est unique. On ´evoquera enﬁn les

composantes compactes et les trous.

On donne tout d’abord quelques d´eﬁnitions.

D´eﬁnition 2.1 Un espace topologique X est dit connexe s’il n’est pas l’union

de deux sous-espaces non vides, disjoints et ouverts, ou en d’autres termes si

X et ∅ sont les seuls sous-ensembles de X qui sont `a la fois ouverts et ferm´es.

D´eﬁnition 2.2 Un espace X est connexe par arcs s’il existe pour tout couple

(x, y) ∈ X ×X une fonction continue f : [0, 1] → X avec f(0) = x et f(1) = y.

Pour toute fonction continue f : [0, 1] → X, l’image f ([0, 1]) est connexe.

Supposons que ce n’est pas le cas : il existe alors un ensemble M ⊂ f[0, 1]

diﬀ´erent de f[0, 1] et de ∅ qui est en mˆeme temps ouvert et ferm´e. Sa pr´eimage

−1

(M) est ouverte et ferm´ee dans [0, 1] tout en ´etant diﬀ´erente de [0, 1] et

∅. Mais ceci implique que l’intervalle [0, 1] n’est pas connexe, ce qui est faux.

Contradiction. Nous concluons :

Aﬃrmation 2.1 Un espace connexe par arcs est aussi connexe.

Si X⊂◦ C, l’aﬃrmation inverse est aussi valable. On se donne un point p ∈ X,

puis on consid`ere la fonction suivante :

w(z) =



1 s’il existe f : [0, 1] → X continue avec f(0) = p, f(1) = z,

0 sinon.

Puisque X⊂◦ C, il existe pour chaque z ∈ X une boule B(z) ⊂ X; dans

cette boule, toute paire de points se laisse relier par un chemin continu. Si

w(z

) = 1 pour au moins un z

dans B(z), w(B(z)) = 1. Par cons´equent,

ou bien w(B(z)) = 1, ou bien w(B(z)) = 0, et la fonction w est localement

constante dans X. Mais parce que X est connexe et qu’il y a au moins un point

p ∈ X avec w(p) = 1, on doit avoir

w ≡ 1 sur tout X.

D´eﬁnition 2.3 (composante connexe) Un sous-ensemble P ⊂ X est une

composante connexe de X s’il est un sous-ensemble connexe maximal de X,

i.e. il n’existe pas de sous-ensemble non vide Q ⊂ X disjoint de P tel que P ∪Q

est connexe.

On peut exprimer cette notion de composante d’un espace topologique X en

termes de sous-espaces topologiques de ce X : pour tout x ∈ X, l’ensemble

{x} vu comme sous-espace topologique est connexe. Et puisque l’union quel-

conque de sous-espaces connexes ayant deux `a deux une intersection non vide

est `a nouveau un sous-espace connexe, on conclut que l’union de tous les

sous-espaces connexes qui poss`edent en commun un point ﬁx´e forme un sous-

espace connexe maximal. C’est ce qu’il faut comprendre pr´ecis´ement par ‘sous-

ensemble connexe maximal’ (de X). Il est ´evident que deux composantes de X

sont disjointes et que chaque composante est ferm´ee, puisque pour toute partie

A ⊂ X, si A est connexe, sa fermeture A l’est ´egalement.

Il est `a remarquer qu’une composante n’est en g´en´eral pas ouverte, comme

l’atteste l’exemple suivant.

Exemple 2.1 Soit X := Q ⊂ R muni de la topologie induite. Les composantes

sont les points de Q, et aucune composante n’est ouverte, puisque pour tout

x ∈ Q, il n’existe aucun ouvert U de R tel que U ∩ Q = {x}.

D´eﬁnition 2.4 Un chemin γ : I → C parcourt un domaine D de bord en

bord si les conditions suivantes sont v´eriﬁ´ees :

i) Il existe t

et t

dans I, t

< t

, avec γ(t

), γ(t

) ∈ ∂D et γ(t

) 6= γ(t

ii) Pour t

< t < t

, on a γ(t) ∈ D.

iii) Pour t ∈ I, t 6∈ [t

, t

], on a γ(t) 6∈ D.

iv) D −|γ| poss`ede exactement deux composantes, et |γ|∩D est la commune

partie des bords de ces deux composantes.

Si X est connexe, toute fonction w localement constante est constante sur tout X. La

preuve est simple. Soit c la valeur de w en un point de X. Il faut montrer que w

−1

la fois ouvert et ferm´e : w

−1

pour tout z ∈ X un voisinage U (z) ⊂ X avec w(U (z)) =constante. Et w

−1

que w est continue.

La derni`ere condition assure que la courbe ne se croise pas dans D.

La ﬁgure de gauche illustre une courbe qui parcourt le domaine D de bord

en bord, alors que la courbe de droite ne le fait pas. Cependant on voit qu’il

est facilement possible de trouver une restriction U du domaine D telle que la

courbe de droite parcourt U de bord en bord.

On peut montrer que pour tout point z sur la trace d’une courbe lisse, simple

et ferm´ee γ dans C, il existe un voisinage de z tel que γ parcourt ce voisinage

de bord en bord.

D´eﬁnition 2.5 (courbe de Jordan) Dans C, une courbe est dite de Jordan

si elle est continue, simple et ferm´ee.

Un exemple simple d’une courbe de Jordan est un

cercle dans C. Il apparaˆıt en eﬀet que chaque cercle

partage C en deux domaines disjoints, l’int´erieur

et l’ext´erieur du cercle, qui en est le commun bord.

La courbe ci-contre est aussi une courbe de Jor-

dan, simple et ferm´ee.

Aﬃrmation 2.2 (Jordan) Chaque courbe de Jor-

dan partage le plan en un domaine born´e (l’int´erieur

de la courbe) et un domaine non born´e (son ext´erieur).

Cette courbe est le commun bord de ces deux do-

maines.

On ne montre ce th´eor`eme de Jordan que pour des courbes lisses par mor-

ceaux, simples et ferm´ees de C, puisque dans ce cas, on peut employer la notion

de nombre de tours de la courbe.

Aﬃrmation 2.3 (restreinte aux courbes de Jordan lisses par morceaux)

Soit γ un chemin d’int´egration simple et ferm´e (i.e. lisse par morceaux) tel que

pour tout z ∈ |γ|, il existe un disque centr´e en z tel que γ parcourt ce disque de

bord en bord.

Alors γ partage C en deux domaines, dont un seul est born´e. Le bord de chacun

des deux domaines est |γ|.

Comme dit plus haut, la condition pos´ee au chemin d’int´egration simple et

ferm´e se v´eriﬁe toujours.

Preuve : On pose U := C − |γ|. On montre les propositions a), b) et c) :

a) U a au moins deux composantes connexes.

Soit z

∈ |γ| et D un disque centr´e en z

et que γ parcourt de bord en bord.

Soient D

et D

les deux composantes de D−|γ|. Alors par la r`egle de calcul de la

fonction localement constante ‘nombre de tours’ (d’une courbe ferm´ee), qui dit

que la valeur de cette fonction varie de ±1 entre les points de deux composantes

connexes qui ont un bord commun, on a que U

) 6= U

), pour z

∈ D

. Par le fait que U

est constante sur toute une composante connexe, il

suit que z

et z

appartiennent `a des composantes diﬀ´erentes.

b) Pour chaque composante U

de U, on a que ∂U

= |γ|.

Supposons que z

∈ ∂U

sans ˆetre dans |γ|. Dans ce cas, il existe un disque D

centr´e en z

avec D ⊂ U. Alors U

∪ D ⊂ U est ouvert et connexe avec U

∪ D, ce qui signiﬁe que U

n’est pas une composante de U, en contradiction

avec l’hypoth`ese. De l`a, ∂U

⊂ |γ|, et ∂U

6= ∅ puisque U

6= ∅.

On montre par un argument de connexit´e que ∂U

= |γ| : Soit z

∈ ∂U

et D

un disque centr´e en z

que γ parcourt de bord en bord. D

et D

sont les deux

composantes de D − |γ|. On a que U

∩ D 6= ∅. Donc

∩ (D − |γ|) = (U

∩ D

) ∪ (U

∩ D

) 6= ∅.

En changeant les indices si besoin est, on a que U

∩ D

6= ∅. Mais puisque

∪ D

est connexe, on a D

⊂ U

. Mais par le point iv) de la d´eﬁnition 2.4,

D ∩ |γ| ⊂ ∂D

. Puisque |γ| ∩ U

= ∅, on a alors que D ∩ |γ| ⊂ ∂U

, et on a

montr´e que ∂U

⊂ |γ| est ouvert dans |γ|.

Mais ∂U

est aussi ferm´e dans |γ| en raison du fait que ∂U

ne contient aucun

voisinage ouvert de C. Comme la propri´et´e d’ˆetre ferm´e est h´er´editaire pour les

sous-parties de C, on a que ∂U

est ferm´e dans |γ|.

Puisque ∂U

est non vide et que |γ| est connexe, on doit avoir que ∂U

= |γ|.

c) U se compose d’au plus deux composantes connexes.

Soient maintenant U

et U

trois composantes diﬀ´erentes de U . On choisit

un disque D que γ parcourt de bord en bord. Si n´ecessaire en changeant les

indices, on doit avoir que D

⊂ U

et D

⊂ U

. Puisque U

est une composante

connexe diﬀ´erente de U

et U

, elle est disjointe de ces deux. En particulier, D

n’appartient pas `a U

. Mais ceci contredit le point b), `a savoir que ∂U

= |γ|.



En r´esum´e, la courbe γ partage C en deux domaines

= {z; U

(z) = U

)} pour z

∈ D

= {z; U

(z) = U

)} pour z

∈ D

dont le bord commun est |γ|. Et puisque U

= 0 dans la composante non born´ee

de C−|γ|, on a que – si besoin est en changeant les indices – U

= {z; U

(z) = 0}

et U

= {z; U

(z) = ±1}. On reconnaˆıt que U

est l’ext´erieur et U

l’int´erieur

de la courbe.

Soit un compact K ⊂ C. Selon Heine-Borel, K est born´e, et il existe une

courbe ferm´ee γ telle que K se situe `a l’int´erieur de γ. On a K ⊂ intγ. Selon

le r´esultat de Jordan obtenu ci-dessus, l’espace C −intγ consiste en une unique

composante, non born´ee. Et puisque

(C − intγ) ∪ (intγ − K) = C − K,

on conclut que C − K poss`ede exactement une seule composante non born´ee.

Nous terminons la section par deux propri´et´es des composantes connexes

que l’on rencontrera souvent dans la suite : la compacit´e et la compacit´e rela-

tive. La notion de compacit´e fera l’objet d’une consid´eration particuli`ere dans

une prochaine section; nous ne l’´evoquons ici qu’en relation aux composantes

connexes.

D´eﬁnition 2.6 (trou) Soit un domaine D ⊂ C. Une composante compacte

de C − D est appel´ee un trou de D (dans C).

Les trous joueront un rˆole important dans le d´eveloppement de la th´eorie de

Runge pour les domaines quelconques de C.

Aﬃrmation 2.4 Soit un domaine D ⊂ C. Alors K ⊂ D est compact en tant

que sous-ensemble de D si et seulement s’il l’est en tant que sous-ensemble de

La preuve suit de la d´eﬁnition de la compacit´e et du fait que d’une part tout

ouvert de D est un ouvert de C, et d’autre part que toute intersection U ∩ D,

o`u U est un ouvert de C, est un ouvert de D.

D´eﬁnition 2.7 (relativement compact) Les aﬃrmations suivantes `a pro-

pos d’un sous-ensemble M de D sont ´equivalentes.

1. M ⊂ D est relativement compact dans D.

M est compact, o`u M est l’adh´erence de M dans D.

3. M ⊂ D et M est compact, o`u M est l’adh´erence de M dans C.

4. M ⊂ L ⊂ D, o`u L est compact

On note M ⊂⊂ D.

Ci-contre, M

n’est pas relativement com-

pact dans D. En eﬀet, l’adh´erence de M

dans C est compacte, mais elle n’est pas

dans D. D’autre part, l’adh´erence de M

dans D n’est pas compacte.

est quant `a lui relativement compact

dans D.

3 Le th´eor`eme de Runge pour les compacts

On pr´esente dans cette section un premier th´eor`eme d’approximation par des

fonctions rationnelles des fonctions holomorphes sur un compact K dans un

domaine D ⊂ C. Puis on restreint successivement l’ensemble des pˆoles de ces

fonctions rationnelles. D’abord en limitant cet ensemble `a un point par com-

posante connexe de D − K, puis en montrant qu’on peut dans certains cas

obtenir que ces pˆoles se situent en dehors de D. Ce fait permet l’approximation

de fonctions d´eﬁnies non seulement sur des compacts mais ´egalement sur des

domaines quelconques de C, comme nous le verrons `a la section 6.

Une fonction f est dite holomorphe sur une partie quelconque Q de C si elle

est la restriction `a Q d’une fonction h holomorphe sur un voisinage U de Q.

On a ainsi f = h|

. On peut ainsi toujours supposer que si f est une fonction

holomorphe sur un compact K, f l’est encore sur un voisinage ouvert D ⊃ K,

de mani`ere que la construction de la premi`ere section est toujours possible : il

existe en eﬀet pour tout compact K et pour tout D ⊃ K un cycle Γ dans D −K

avec U

(z) = 1 pour z ∈ K et U

(z) = 0 pour z ∈ C − D.

Voici `a pr´esent une premi`ere tentative d’approcher des fonctions holomorphes

par des fonctions rationnelles.

Aﬃrmation 3.1 (approximation par des fonctions rationnelles) Soit f

holomorphe sur le compact K. Il existe une suite de fonctions rationnelles sans

pˆoles dans K qui converge uniform´ement vers f sur K.

Preuve : Soit un voisinage ouvert D de K tel que f y est encore holomorphe

et soit un cycle Γ avec U

(z) = 1 si z ∈ K et U

(z) = 0 si z ∈ C − D. Alors

∀z ∈ K,

f(z) =

2πi

f(ζ)

ζ − z

dζ.

On d´ecompose le cycle en chemins ferm´es. Puisque ces chemins sont lisses par

morceaux, on peut trouver une d´ecomposition du cycle en un nombre ﬁni de

bouts de chemins de classe C

∞

. Moyennant reparam´etrisation, on peut admettre

que ces chemins sont de la forme γ

: [0, 1] → D − K, ρ = 1, ···, R. Nous

choisissons un de ces chemins et nous l’appelons simplement γ :

(z) :=

f(ζ)

ζ − z

dζ =

f(γ(t))

γ(t) − z

(t) dt.

Soit δ > 0 arbitraire. Il existe une fonction en escaliers

φ : [0, 1] → D −

K telle que |f(γ(t)) − φ(t)| < δ. Une telle fonction en escaliers s’obtient en

partitionant l’intervalle [0, 1] et en d´eﬁnissant φ constante sur chacun des sous-

intervalles [a

, a

i+1

[. Soit une partition Z

d´ecrite par 0 = a

< a

< ··· <

= 1. On ﬁxe t

∈ [a

, a

i+1

[ et on pose φ|

i+1

[

:≡ f(γ(t

)). Par la continuit´e

de f ◦γ, il existe une partition Z

avec |f ◦ γ −φ| < δ partout.

De mˆeme, il existe deux autres partitions Z

et Z

d´ecrites respectivement par

0 = b

< b

< ··· < b

= 1 et 0 = c

< c

< ··· < c

= 1 telles que pour des

fonctions en escaliers ψ et θ associ´ees `a ces partitions, on ait que |γ(t)−ψ(t)| < δ

et |γ

(t) − θ(t)| < δ partout.

Alors pour le raﬃnement commun de ces trois partitions 0 = d

< d

< ··· <

I.e. les parties r´eelle et imaginaire sont des fonctions en escaliers.

= 1, les trois fonctions en escaliers sont constantes sur chacun des N − 1

sous-intervalles [d

, d

i+1

[. De l`a, et pour t dans un de ces sous-intervalles



f(γ(t))

γ(t) − z

(t) −

− z



< constante · δ. (3)

et ψ

sont ici des nombres complexes d´eﬁnis par p

:= φ(t) ·θ(t) et ψ

:= ψ(t)

pour t dans un sous-intervalle [d

, d

i+1

La ﬁgure ci-contre montre la situation

d’une composante connexe de K dans D.

Pour borner le membre de gauche de l’´equa-

tion (3), il faut s’assurer que ψ

−z 6= 0 en

demandant par exemple que |ψ

−z| > δ. Si

l’on veut en plus satisfaire l’autre condition

|γ

− ψ| < δ, il faut demander que r > 2δ,

o`u r est la distance entre K et la trace de γ.

Par suite, et en se souvenant que pour simpliﬁer l’´ecriture du d´eveloppement

pr´ec´edent nous avons pos´e que γ

= γ, on a que pour chaque ρ,



(z) −

−1

k=1

ρ, i+1

− d

ρ, i

) ·

ρ, i

− z



< const

ρ, i+1

− d

ρ, i

)

{z }

·δ = const

·δ.

Ainsi, la fonction rationnelle

2πi

−1

i=1

ρ, i+1

− d

ρ, i

) ·

ρ, i

− z

est la fonction d’approximation recherch´ee qui approche l’int´egrale f(z) =

2πi

f(ζ)

ζ−z

dζ, pour z ∈ K. On peut l’´ecrire sous la forme d’une somme ﬁnie de

En d´etail : Le membre de gauche de l’in´egalit´e est ´egal `a



f ◦ γ(t)γ

(t)(ψ

− z) − p

(γ(t) − z)

(γ(t) − z)(ψ

− z)



≤

|num´erateur|

, o`u r est la distance (par d´eﬁnition mi-

nimale, et ce minimum existe) entre le compact K et la trace de γ. Pour majorer le num´erateur,

il faut consid´erer l’in´egalit´e suivante : |AB − CD| ≤ |A(B − C)| + |C(A − D)|. En substituant

correctement, on obtient

|f ◦ γ(t)γ

(t)(ψ

− z) − p

(γ(t) − z)| ≤ |(ψ

− z) (f ◦ γ(t)γ

(t) − pi)

{z }

≤δ

| + |p

(ψ

− γ(t))

{z }

≤δ

| ≤

δ ·



| + max {|x − y|; x ∈ K, y ∈ |γ|}



= δ · constante.

On emploie le fait que ψ

− z ≤ max {|x − y|; x ∈ K, y ∈ |γ|}. Ce maximum – ainsi que le

minimum utilis´e ci-dessus – existe puisqu’on consid`ere la distance entre deux compacts, qu’on

peut voir comme une fonction continue sur le produit cart´esien de deux compacts.

fractions partielles.

En r´e´ecrivant cette fonction comme A :=

κ=1

z−b

, et si R est le nombre de

bouts de chemins γ

, cette fonction satisfait `a



A −

2πi

f(ζ)

ζ − z

dζ



< const · R · δ,

o`u const est le maximum des const

. Pour tout n ∈ N, on peut alors consid´erer

la fonction rationnelle A qui correspond `a δ = (2

· const ·R · δ)

−1

. On d´eﬁnit

ainsi une suite (A

)

n∈N

de fonctions rationnelles avec



−

2πi

f(ζ)

ζ − z

dζ



< 2

−n

Cela montre qu’il existe une suite de fonctions rationnelles qui converge uni-

form´ement sur K vers f(z) =

2πi

f(ζ)

ζ−z

dζ.



Par construction, les pˆoles de ces fonctions rationnelles ne sont pas dans K,

mais dans D − K. Dans la suite, on va essayer de dire un peu plus `a propos

de la situation de ces pˆoles. Le proc´ed´e suivant permet de r´eduire le nombre

de pˆoles des fonctions d’approximation au nombre de composantes connexes de

D − K.

Aﬃrmation 3.2 (d´eplacement des pˆoles) Soient a et b deux points pris

dans la mˆeme composante Z de D −K. Alors on peut approcher

z−b

sur K par

une suite uniform´ement convergente de polynˆomes en

z−a

Preuve : Soit L

:= {f ∈ O(K); f est approx. unif. par une s´erie

(z−a)

On sait que L

n’est pas vide car cet ensemble contient certainement tous les

polynˆomes en

z−a

On montre que pour un disque ouvert B autour de a tel que K ∩ B = ∅, on

a que pour tout point b ∈ B,

z−b

∈ L

. Soit z ∈ K. Alors la distance |b − a|

est toujours strictement plus petite que la distance |z − a|, qui est d’ailleurs

toujours strictement positive. De l`a,



b−a

z−a



< 1 pour tout z ∈ K et pour tout

b ∈ B. On sait alors que la s´erie g´eom´etrique suivante converge uniform´ement

sur tout compact de B, et on connaˆıt sa limite :

z − a

∞

i=0



b − a

z − a



z − a

1 −

b−a

z−a

z − b

. (4)

L’´egalit´e (4) exprime le fait que

z−b

∈ L

, pour tout b ∈ B.

Mais il est aussi clair que si

z−x

∈ L

z−b

∈ L

, alors

z−x

∈ L

, i.e la

relation d’appartenance `a un L

est une relation transitive.

Ce fait-ci permet de former une chaˆıne de disques ouverts telle que chaque point

p appartenant `a la chaˆıne satisfait `a ce que pour z ∈ K,

p−z

appartient `a L

Il suﬃt de veiller `a ce que chaque disque de la chaˆıne contienne le centre du

prochain disque. Et puisque tout domaine est connexe par arcs, il est possible

de relier chaque paire de points de la mˆeme composante par une telle chaˆıne,

contenant un nombre ﬁni de disques ouverts.

Il en suit que tous les points du domaine appartiennent `a L

et se laissent

donc approcher par une suite uniform´ement convergente de polynˆomes

(z−a)



Consid´erons une chaˆıne de disques reliant deux points de la mˆeme com-

posante. A chaque passage d’un disque au suivant correspond la substitution

de l’argument d’une s´erie de puissances par une autre s´erie de puissances. Au

passage du disque centr´e en b `a celui centr´e en a, passage que d´ecrivent les

calculs ci-dessus, correspond la substitution

z−b

= P

(

z−a

), o`u P est une s´erie

enti`ere en son argument. Et dans le cas o`u pour trois points a, b et c, on a que

z−c

= P

◦ P

(

z−a

), alors on observe la relation importante P

◦ P

= P

C’est cette r´eduction de la composition de s´eries enti`eres `a une s´erie enti`ere qui

permet le prochain th´eor`eme d’approximation.

3.1 le th´eor`eme d’approximation

On va maintenant consid´erer C −K et non plus D −K. On veut en eﬀet utiliser

la propri´et´e de C − K d’avoir exactement une seule composante non born´ee. Il

est en eﬀet possible de d´eplacer tous les pˆoles de cette composante non born´ee

de C − K “inﬁniment loin”. Ceci m´erite pr´ecision :

Si D = C et si Z est la composante non born´ee de C − K, alors il existe un

point d ∈ Z tel que B

(0) ⊃ K, pour r = |d|/2. Pour ce point d, toutes les

fonctions (z − d)

−n

sont holomorphes sur le disque ferm´e B

(0) et s’y laissent

Soit un chemin γ : [0, 1] → Z reliant a `a b dans Z. La trace |γ| de ce chemin est compacte

dans Z. Soit ρ := dist (|γ|, ∂Z). On a que ρ > 0, ce qu’on montre plus bas. Soit ensuite une

partition 0 = a

< a

< · · · < a

= 1 suﬃsamment ﬁne pour que la longueur d’arc entre

γ(a

) et γ(a

i+1

) soit plus petite que ρ/2 :

i+1

(Reγ

)

+ (Imγ

)

(t) dt < ρ/2.

Alors la chaˆıne des disques centr´es en ces γ(a

) et de rayon 3/4 ρ est une chaˆıne ﬁnie reliant

a `a b dans Z. Chaque cercle contient le centre du cercle suivant, et ainsi, chaque point p

appartenant `a cette chaˆıne satisfait `a ce que pour z ∈ K,

p−z

appartient `a L

Il reste `a se persuader que ρ > 0 : On recouvre le compact |γ| par un recouvrement ﬁni E de

disques ouverts dans Z. Puis on d´eﬁnit F := {z ∈ C; dist (z, |γ|) ≤ 1}. Alors C := F − (E ∩F )

est un compact dans C (qu’on peut supposer non vide, quitte `a grossir F sinon). D’autre part,

on a par construction que ρ = dist (|γ|, ∂Z) ≥ dist (|γ|, C). Par d´eﬁnition de la distance entre

deux ensembles, dist (|γ|, C) := inf{|a − b| ; a ∈ |γ|, b ∈ C}. Or cet inﬁmum est un minimum,

puisque la fonction |γ| × C → R

; (a, b) → |a − b| est continue sur le produit cart´esien de

deux compacts.

Il existe donc (a

, b

) ∈ |γ|×C tel que dist (|γ|, C) = |a

−b

|. Puisque a

est un point int´erieur

de Z, il y a un disque ouvert autour de a

qui se trouve encore dans Z. La distance ρ entre

|γ| et ∂Z est donc au moins du rayon de ce disque.

donc approcher uniform´ement par leur s´erie de Taylor en 0. Et de mˆeme pour

la restriction de ces fonctions sur K ⊂ B

(0). Pour tout a dans la mˆeme compo-

sante que d, il suit que z 7→ (z − a)

−n

se laisse approcher uniform´ement sur K

par des polynˆomes en z – `a savoir les sommes partielles de la s´erie de Taylor en 0.

Pour toute partie P ⊂ C, C

[z] signiﬁe l’ensemble de toutes les fonctions

rationnelles dont les pˆoles sont uniquement dans P. Il s’agit d’une C-alg`ebre.

Aﬃrmation 3.3 Soit une partie P ⊂ C − K. Si chacune des composantes

born´ees de C − K contient des points de P , alors toute fonction holomorphe

sur K se laisse approcher uniform´ement sur K par une suite de fonctions de

[z].

Preuve : Soit f holomorphe sur K. On se donne un ε > 0. Selon le th´eor`eme

d’approximation par des fonctions rationnelles, il existe une fonction

A =

κ=1

z − b

telle que |f − A|

< ε/2.

Les pˆoles b

sont dans C −K. Soit Z

la composante de C −K qui contient b

Si cette composante est born´ee, il existe alors un t

∈ P ∩Z

. Selon le th´eor`eme

de d´eplacement des pˆoles, il existe un polynˆome g

en (z − b

)

−1

tel que



z − b

− g

(z)



, ∀z ∈ K.

Dans le cas o`u Z

est la composante non born´ee, alors g

est un polynˆome en

z. La fonction g :=

κ=1

est rationelle et ses pˆoles sont tous dans P . On a

|f −g|

< |f − A|

+ |A − g|

< ε/2 +

κ=1



z − b

− g

(z)



< ε.



Rappelons que toute fonction holomorphe sur K l’est par d´eﬁnition sur un

voisinage de K. L’aﬃrmation suivante est une cons´equence de l’aﬃrmation 3.3.

Aﬃrmation 3.4 (cons´equence) Soit K ⊂ D un compact dans un domaine

D. Si chaque composante born´ee de C −K contient des points de C − D, alors

toute fonction holomorphe sur K se laisse approcher uniform´ement sur K par

une suite de fonctions holomorphes sur D.

Preuve : On choisit P ⊂ C −K en-dehors de D et de sorte que les conditions

de 3.3 sont satisfaites. 

Une autre cons´equence, importante, de 3.3 :

Aﬃrmation 3.5 (petit th´eor`eme de Runge) Si C −K est connexe, toute

fonction holomorphe sur K se laisse approcher uniform´ement sur K par une

suite de polynˆomes.

Nous voulons montrer l’implication r´eciproque. Mais tout d’abord, voici deux

aﬃrmations simples :

Aﬃrmation 3.6 Soit D un domaine et K ⊂ D un compact. Si une composante

(connexe) Z de D − K est relativement compacte dans D, alors |f |

≤ |f|

pour tout f holomorphe sur D.

Preuve : Il est clair que ∂Z ⊂ K.

De plus, le fait que Z est relativement com-

pacte dans D signiﬁe que son adh´erence dans C est dans D et que celle-ci est

compacte; il s’ensuit que Z est born´ee. L’aﬃrmation suit alors du principe du

maximum appliqu´e `a un domaine born´e. Nous nous donnons une fonction holo-

morphe non constante sur D et nous montrons qu’elle n’admet pas de maximum

dans le domaine ouvert

Z = Z − (Z ∩ ∂Z). Supposons qu’il existe un z

∈

avec |f(z

)| ≥ |f (z)|, pour tout z ∈

Z. L’image f(

Z) serait alors dans le disque

ferm´e centr´e en 0 et de rayon |f(z

)|; il n’y aurait aucun voisinage de f(z

)

qui appartienne encore `a f(

Z), en contradiction avec le fait que l’image d’un

domaine par une fonction holomorphe non constante est aussi un domaine. De

l`a, |f| est plus grande sur ∂Z que dans

Z. Puisque Z est relativement compacte

dans D, l’aﬃrmation suit. 

Aﬃrmation 3.7 Chaque composante Z de C−K qui est dans D est ´egalement

une composante de D − K. Si Z est en plus born´ee, alors Z est relativement

compacte dans D.

Preuve : Z est un domaine dans D −K, et il y a donc une composante Z

D − K qui contient Z. Mais inversement, Z

est un domaine dans C − K. De

l`a, Z = Z

Si Z est born´ee, alors, selon l’aﬃrmation pr´ec´edente, ∂Z ⊂ K, et

Z ⊂ D ∪K ⊂

D. 

Voici `a pr´esent de mani`ere r´esum´ee ce qu’on peut dire sur un compact K dans

un domaine D :

Aﬃrmation 3.8 Les aﬃrmations suivantes sont ´equivalentes :

1. L’espace D − K n’a aucune composante relativement compacte dans D.

2. Chaque composante born´ee de C − K a une intersection non vide avec

C − D.

3. Toute fonction holomorphe sur K se laisse approcher uniform´ement sur

K par une suite de fonctions rationnelles sans pˆole dans D.

4. Toute fonction holomorphe sur K se laisse approcher uniform´ement sur

K par une suite de fonctions holomorphes sur D.

5. Pour tout c ∈ D −K, il existe une fonction h holomorphe sur D telle que

|h(c)| > |h|

Supposons qu’il y ait un point c ∈ D ∩ ∂Z avec c 6∈ K. Alors il y aurait un disque

B ⊂ D − K centr´e en c. Mais puisque Z ∩ B 6= ∅, B serait dans Z, ce qui contredit le fait que

c soit un point du bord ∂Z. Donc D ∩ ∂Z ⊂ K.

Puisqu’en outre Z est relativement compacte dans D, on a ∂Z ⊂ D. Donc ∂Z ⊂ K.

Preuve : 1) ⇒ 2) : Par l’aﬃrmation 3.7. 2) ⇒ 3) : C’est l’aﬃrmation 3.4.

3) ⇒ 4) : Evident.

4) ⇒ 1) : On suppose que D − K poss`ede une composante relativement com-

pacte Z dans D. Soit a ∈ Z et δ := |z −a|

< 0. Alors pour (z −a)

−1

∈ O(K), il

existe g ∈ O(D) telle que |(z−a)

−1

−g(z)|

< δ

−1

. Alors |1−(z−a) g(z)|

< 1.

Par l’aﬃrmation 3.6, il suit que |1 − (z − a) g(z)| < 1 pour tout z ∈ Z. Mais

c’est absurde pour z = a.

1) ⇒ 5) : D − (K ∪ {c}) a les mˆemes composantes que D − K `a ceci pr`es

que l’une d’elles est priv´ee de c. On peut appliquer 1) au compact K ∪ {c} au

lieu de K. Ce qui implique qu’on peut aussi lui appliquer 4), ce qu’on vient de

montrer. On consid`ere ensuite la fonction

g(z) := 0 pour z ∈ K, g(c) := 1

qui est trivialement holomorphe sur K ∪ {c}. Il existe h ∈ O(D) telle que

|h|

< 1/2 et |1 − h(c)| < 1/2. Cela implique que |h(c)| > 1/2.

5) ⇒ 1) : Si D −K a une composante relativement compacte dans D, alors 5)

serait incompatible avec l’aﬃrmation 3.6. 

Remarquons l’apport qualitatif de la cons´equence 3.4 par rapport `a 3.3 :

en consid´erant que les pˆoles sont hors de D et non plus seulement hors de K,

on peut trouver une suite (f

) qui ne d´epend plus de K, de mani`ere qu’elle

converge uniform´ement sur tout compact K dans D. En passant ainsi de la

convergence uniforme `a la convergence compacte

, on passe du cas compact

au cas d’un domaine quelconque de C.

On trouve une telle suite de la mani`ere suivante. Soit f une fonction holomorphe

sur D. On consid`ere la suite de compacts dans D donn´ee par

:= {z ∈ D; dist (z, ∂D) ≥

Soient (f

i,j

)

j∈N

, i ∈ N, des suites de fonctions holomorphes sur D et m´ero-

morphes sur C (sinon, f

i,j

:= f) qui approchent f uniform´ement sur K

. Alors

la suite diagonale f

i,i

approche f uniform´ement sur tous les K

, puisque on a

l’imbrication K

⊂ K

i+1

, et que tout compact K de D est inclus dans un de ces

Un d´eveloppement du cas non compact sera l’objet de la section 6.

Pour l’instant, nous restons au cas compact et obtenons l’aﬃrmation r´eci-

proque du petit th´eor`eme de Runge :

Aﬃrmation 3.9 Toute fonction holomorphe sur K se laisse approcher uni-

form´ement sur K par une suite de polynˆomes si et seulement si C − K est

connexe.

Une suite de fonctions holomorphes sur un domaine D est dite compactement convergente

si elle converge uniform´ement sur tout compact dans D. Il est montr´e dans la suite que la

convergence compacte est ´equivalente `a la convergence localement uniforme dans C.

C −K est en eﬀet connexe si et seulement si C −K ne poss`ede aucune compo-

sante relativement compacte dans C. En eﬀet :

“⇒”: Si C − K est connexe, la seule composante de C − K est non born´ee,

et aucune composante n’est donc relativement compacte. “⇐”: Supposons par

l’absurde qu’il existe une composante Z de C −K relativement compacte dans

C. Donc Z est born´ee et doit ˆetre disjointe de la composante non born´ee de

C − K (qu’on sait devoir exister puisque K est born´e). C − K n’est alors pas

connexe.

Il reste `a montrer que si toute fonction holomorphe sur K se laisse approcher

uniform´ement par une suite de polynˆomes, alors C −K ne poss`ede aucune com-

posante relativement compacte dans C. Mais il s’agit justement de l’implication

3) ⇒ 1) de l’aﬃrmation 3.8, pour D = C. 

Finalement, nous obtenons l’aﬃrmation r´eciproque de l’aﬃrmation 3.3.

Aﬃrmation 3.10 Si P est tel que toute fonction holomorphe sur K se laisse

approcher uniform´ement sur K par une suite de fonctions de C

[z], alors

chaque composante born´ee de C − K contient des points de P .

Preuve : Par le th´eor`eme de d´eplacement des pˆoles, on peut admettre que

l’intersection entre P et chaque composante de C−K est un point unique. Dans

ce cas, D := C −P est un domaine satisfaisant K ⊂ D. D’autre part et puisque

[z] ⊂ O(D), chaque composante born´ee de C − K a une intersection non

vide avec C −D = P , ceci par l’implication 4) ⇒ 2) pr´ec´edemment d´emontr´ee.



4 R

est localement compact.

Nous entamons la section par un rappel.

D´eﬁnition 4.1 X est appel´e un espace de Hausdorﬀ si pour toute paire de

points distincts x

, x

, il existe un voisinage ouvert de x

et un voisinage ouvert

de x

tels que leur intersection est vide.

Dans un espace de Hausdorﬀ, tout point x ∈ X est l’intersection de tous ses

voisinages ferm´es. Ceci permet l’aﬃrmation suivante :

Aﬃrmation 4.1 Si X est un espace de Hausdorﬀ, alors ∀x ∈ X, {x} est un

ferm´e de X.

En eﬀet, {x} =

{X − U; x 6∈ U ∈ O}. Or une intersection (inﬁnie et non

forc´ement d´enombrable) de ferm´es est aussi un ferm´e.

D´eﬁnition 4.2 (compacit´e) Un espace topologique X est dit compact s’il est

Hausdorﬀ et si de tout recouvrement d’ouverts, il admet un sous-recouvrement

ﬁni.

Sans preuve, je rappelle les aﬃrmations suivantes.

Aﬃrmation 4.2 Tout sous-espace ferm´e d’un espace compact est compact.

Autrement dit, la compacit´e est une propri´et´e h´er´editaire pour les ferm´es d’un

espace compact.

Aﬃrmation 4.3 Tout sous-espace compact d’un espace de Hausdorﬀ X est un

sous espace ferm´e de ce X.

En d’autres mots, la propri´et´e d’ˆetre ferm´e est h´er´editaire pour les sous-espaces

compacts d’un espace de Hausdorﬀ. De ces aﬃrmations, il suit que pour tout

sous-espace M d’un espace compact, M est ferm´e ⇔ M est compact.

D´eﬁnition 4.3 (compacit´e locale) Un espace topologique X est dit locale-

ment compact si ∀x ∈ X, ∃ un voisinage (ouvert) U de x tel que

U est compact

dans X.

Essayons de mieux saisir cette notion. Puisque le sous-espace U est compact,

celui-ci est aussi un espace de Hausdorﬀ et pour tout x ∈ U , {x} est ferm´e

dans U. Donc (topologie induite), {x} est ferm´e dans X. La propri´et´e qui suit

distingue les espaces localement compacts des espaces compacts.

Aﬃrmation 4.4 Un sous-espace M d’un espace localement compact X est lo-

calement compact si et seulement s’il peut ˆetre repr´esent´e de la forme M =

F ∩ V , o`u F est un ferm´e de X et V est ouvert de X.

La compacit´e locale est ainsi une propri´et´e h´er´editaire pour les sous-espaces

ouverts et les sous-espaces ferm´es d’un espace localement compact. Il faut en

eﬀet comprendre F ∩V comme un ouvert du sous-espace F ⊂ X par la topologie

induite, ou bien alors comme un ferm´e du sous-espace V ⊂ X par la topologie

induite. En particulier, on peut choisir F = X ou bien V = X.

Nous en arrivons `a la principale proposition, qu’il s’agira d’expliciter, sinon de

d´emontrer.

Aﬃrmation 4.5 R

est localement compact.

Cette proposition est la cons´equence des propositions suivantes.

Aﬃrmation 4.6 Le produit cart´esien d’un espace localement compact avec lui-

mˆeme (un nombre ﬁni de fois) redonne un espace localement compact.

Aﬃrmation 4.7 R est hom´eomorphe au sous-espace ouvert (−1, 1) de l’espace

compact [−1, 1]. Un hom´eomorphisme est donn´e par x 7→ x/(1 − x

Aﬃrmation 4.8 Un espace E est localement compact s’il est hom´eomorphe `a

un sous-espace ouvert M d’un espace compact.

Cette aﬃrmation est cons´equence directe de l’aﬃrmation 4.4 et du fait qu’un

espace compact est aussi localement compact.

Soit un recouvrement

de ce ferm´e F, et appelons X ⊃ F l’espace compact en

question. Alors X − F est ouvert dans X et (

) ∪ (X − F ) est un recouvrement de X.

Par la compacit´e de X, il existe un sous-recouvrement ﬁni

i=1

qui recouvre F . Donc F

est compact.

On a que pour tout x = (x

, · · · , x

) ∈ R

, U = {y ∈ R

; |x

− y

| < 1} est un voisinage,

et bien sˆur, si l’on se donne le th´eor`eme d’Heine-Borel, on constate que

U est compact. Mais on

pr´ef´erera une approche plus originale, dans la mesure o`u elle permet de caract´eriser davantage

la compacit´e locale.

5 Les composantes compactes d’un espace locale-

ment compact

L’int´erˆet de cette section est port´e sur les composantes compactes d’un espace

localement compact quelconque. Dans la th´eorie de Runge pour les domaines

de C, cet espace localement compact est l’espace-reste D − D

d’une paire de

Runge D

⊂ D, et ses composantes compactes sont appel´ees les trous de D −D

Chaque composante d’un espace topologique Z ⊂ X est ferm´ee dans X. Si Z

est une composante de X, alors aussi

D’autre part, on se rappelle que dans le cas o`u X est compact, les qualiﬁca-

tifs ‘ferm´e’ et ‘compact’ sont synonymes. De l`a, toute composante d’un espace

compact X est aussi compacte.

En g´en´eral, toute composante n’est pas ouverte.

Exemple 5.1 Soit X := Q ⊂ R muni de la topologie induite. Les composantes

sont les points de Q, et aucune composante n’est ouverte, puisque pour tout

x ∈ Q, il n’existe aucun ouvert U de R tel que U ∩ Q = {x}.

Exemple 5.2 Soit D

⊂ D ⊂ C deux domaines emboˆıt´es de C. l’espace-reste

D − D

est localement compact. Pour D

:= D − C, o`u C est un ensemble de

Cantor, D −D

poss`ede une quantit´e ind´enombrable de composantes compactes.

Il existe des compacts ouverts. Par exemple, chaque point d’un espace X discret

dans R et muni de la topologie induite est un compact ouvert.

Aﬃrmation 5.1 Chaque partie `a la fois ouverte et ferm´ee de X est la r´eunion

de composantes de X.

En particulier, chaque ouvert compact de X est la r´eunion de composantes

de X. On montre dans la suite un th´eor`eme de

Sura-Bura sur l’existence de

compacts ouverts. Nous rappelons tout d’abord le th´eor`eme de l’intersection de

Cantor :

Aﬃrmation 5.2 Soit X compact et soit N une famille de ferm´es N dans X

avec

N∈N

N = ∅. Alors il existe un nombre ﬁni de N

, ···, N

∈ N tels que

j=1

= ∅.

N∈N

X −N est un recouvrement d’ouverts de X. Et parce que X est compact,

il existe un nombre ﬁni d’ouverts X − N

, ···, X − N

tels que

[

j=1

X − N

= X ⇔ X −

j=1

= X ⇔

j=1

= 0.

Aﬃrmation 5.3 (

Sura-Bura) Chaque composante compacte A d’un espace

X qui est de Hausdorﬀ et localement compact poss`ede une base de voisi-

nages

dans X qui sont des compacts ouverts dans X.

Les bases de voisinages d’un ensemble sont d´eﬁnies de la mˆeme mani`ere que les bases de

voisinages d’un point, auxquelles fait r´ef´erence le premier axiome de comptabilit´e. Une famille

de voisinages B(A) de A ⊂ X est une base de A si pour tout voisinage ouvert V de A, il existe

U ∈ B avec A ⊂ U ⊂ V .

Preuve : i) On montre d’abord l’aﬃrmation suivante :

Soit X compact. Soit A un compact quelconque de X. On d´enote par F la

famille de tous les compacts ouverts F dans X avec F ⊃ A. En particulier,

X ∈ F. L’intersection B de tous les F ∈ F est compacte et contient A. On

montre :

Chaque ouvert (dans X) U ⊃ B contient un F ∈ F.

En eﬀet, (X − U) ∩

F ∈F

F = ∅. Comme X − U est compact, il y a un nombre

ﬁni de F

, ···, F

∈ F tels que (X − U) ∩

j=1

= ∅. Or G :=

j=1

est dans

ii) On montre l’aﬃrmation de

Sura-Bura. A est maintenant une composante

compacte de X.

Soit V un voisinage quelconque de A dans X. Puisque X est localement com-

pact, il existe un voisinage ouvert U de A dans X dont la fermeture

U est un

compact de V .

Or A est ´egalement une composante de l’espace U . Or on a

montr´e dans i) que dans U, il existe un compact ouvert G avec A ⊂ G ⊂ U .

De l`a, G est aussi ouvert dans U , et donc aussi dans X. On a montr´e que G est

un compact ouvert dans X tel que A ⊂ G ⊂ V . 

Quelques cons´equences du th´eor`eme :

Aﬃrmation 5.4 Un espace localement compact X poss`ede des composantes

compactes uniquement s’il existe dans X des compacts ouverts (non vides). On

observe alors que la r´eunion de toutes les composantes compactes de X est ´egale

`a la r´eunion de tous les compacts ouverts de X, et cette r´eunion est ouverte

dans X.

Aﬃrmation 5.5 Dans le cas o`u l’espace localement compact X ne poss`ede

qu’une ﬁnitude de composantes compactes, chacune de ces composantes est alors

ouverte dans X.

Preuve : Soit A une composante compacte de X. Soient A

, ···, A

les autres

composantes compactes. Alors U := X − (A

∪··· ∪A

) est un voisinage de A

qui n’intersecte aucune autre composante compacte de X. Selon

Sura-Bura, il

y a B un compact ouvert dans X tel que A ⊂ B ⊂ U. Mais puisque B est une

r´eunion de composantes, il suit A = B. 

Aﬃrmation 5.6 Soit X un espace connexe, compact qui contient plusieurs

points, et soit un point p ∈ X. Ce point p est alors un point d’accumulation de

chaque composante de X − {p}.

Preuve : Soit A une composante de X − {p}. Puisque A est ferm´ee dans

X −{p}, A serait aussi ferm´ee dans X dans le cas o`u p 6∈ A. Mais A serait dans

ce cas aussi compact. Puisque X −{p} est localement compact, il y aurait dans

ce cas un compact ouvert B ⊂ X −{p} avec A ⊂ B. Mais alors X ne serait pas

Car un sous-espace ouvert d’un espace localement compact est localement compact. Donc

V est localement compact (voir l’aﬃrmation 4.8).

connexe. En eﬀet, on pourrait ´ecrire X sous la forme d’une union disjointe de

deux ferm´es non vides B ∪ (X − B). De l`a, p ∈ A. 

On applique maintenant le th´eor`eme de

Sura-Bura `a l’espace-reste D − D

deux domaines emboˆıt´es D

⊂ D ⊂ C. Dans la prochaine section, nous verrons

que ces deux domaines emboˆıt´es forment ce qu’on appelle une paire de Runge.

Aﬃrmation 5.7 Si M est un ouvert dans D − D

, alors D

∪M est un sous-

ensemble ouvert du domaine D. Si M est en plus une r´eunion de composantes de

D−D

, alors les composantes de D−(D

∪M ) sont exactement les composantes

de D − D

qui ne sont pas dans M.

Preuve : Il faut montrer que D

∪ M est ouvert dans D. Mais puisqu’il existe

un ouvert U dans D avec M = (D − D

) ∩ U, il suit que

∪ M = D

∪ [(D − D

) ∩ U] = D

∪ (U − D

) = D

∪ U.



Aﬃrmation 5.8 Si D − D

poss`ede une ﬁnitude de composantes compactes

, ···, L

, alors D ∪ L

est un sous-domaine du domaine D; de plus l’espace

D − (D

∪ L

) poss`ede exactement n − 1 composantes L

, ···, L

Aﬃrmation 5.9 Soit L une composante compacte de C −D

– i.e. un trou de

– et soit N un ferm´e dans C, avec L ∩ N = ∅. Alors il existe un compact

K ⊂ C − D

avec L ⊂ K ⊂ C − N, tel que D

∪ K est un domaine dans C.

Preuve : (C−N)∩(C−D

) est un voisinage de L dans C−D

. Selon

Sura-Bura,

il y a un compact ouvert dans C −D

tel que L ⊂ K ⊂ C −N . Par l’aﬃrmation

5.4, D

∪ K est un domaine. 

6 Le th´eor`eme de Runge pour des domaines quel-

conques

Dans la section qui traite de l’approximation de Runge dans le cas compact,

nous nous donnons un compact K ⊂ D et nous voulons pouvoir approcher

uniform´ement toute fonction f holomorphe sur ce compact par des fonctions

holomorphes sur D.

Nous voulons maintenant pouvoir approcher toute fonc-

tion f sur un domaine D

dans D. Bien sˆur, nous n’arrivons plus `a trouver

des suites uniform´ement convergentes de O(D) vers tout f ∈ O(D

), mais nous

pouvons esp´erer trouver des suites de O(D) qui sont uniform´ement convergentes

vers f sur tout compact de D

. Cette convergence est la convergence compacte.

Et puisque C est un espace localement compact, les notions de convergence

compacte et de convergence localement uniforme co¨ıncident :

Nous rappelons qu’une suite de fonctions holomorphes sur un domaine D est

dite compactement convergente sur D si elle converge uniform´ement sur tout

compact dans D, et cette suite est dite localement uniform´ement convergente

sur D si pour tout point de D, il en existe un voisinage o`u elle converge uni-

form´ement.

C’est l’aﬃrmation 3.4

Aﬃrmation 6.1 Toute suite (f

) qui converge localement uniform´ement dans

l’espace (topologique) X y converge aussi de mani`ere compacte.

Si en plus, l’espace X est localement compact, alors cette implication devient

r´eciproque.

Preuve : “⇒”: Pour tout point x ∈ K, il existe un voisinage ouvert U de x

dans X tel que (f

) y converge uniform´ement. Mais comme tout compact K

de X admet un sous-recouvrement ﬁni d’ouverts

i=1

⊃ K du recouvrement

x∈K

, cette suite (f

) converge aussi uniform´ement sur K.

“⇐”: Puisqu’un espace localement compact X est tel que tout point x ∈ X

poss`ede un voisinage compact, l’aﬃrmation est triviale. 

6.1 Les paires de Runge

D´eﬁnition 6.1 (paire de Runge) On dit que deux domaines D et D

de C

avec D

⊂ D sont une paire de Runge si toute fonction holomorphe sur D

se laisse approcher localement uniform´ement sur D

par une suite de fonctions

holomorphes sur D.

Par exemple, la paire (E

, C) n’est pas une paire de Runge. Sur chaque cercle

autour de 0 dans E, 1/z ne se laisse en eﬀet pas approcher uniform´ement par

une suite de polynˆomes.

On montrera dans la suite que

Deux domaines D

⊂ D forment une paire de Runge si et seulement si D − D

ne poss`ede aucune composante compacte.

D´eﬁnition 6.2 Soient A, B des sous-alg`ebres de la C-alg`ebre de toutes les

fonctions `a valeurs complexes continues sur un domaine D ⊂ C. Si A ⊂ B et

si chaque fonction de B se laisse approcher localement uniform´ement par une

suite de fonctions de A, on dit alors que l’alg`ebre A est dense dans B.

On dit qu’un ensemble A est dense dans X si

A = X, o`u la fermeture A de A

se laisse caract´eriser ainsi (voir [En], prop. 1.6.3) :

Un point x est dans A si et seulement s’il existe une suite de points de A qui

converge vers x.

Cette ´equivalence bien connue n’est pas si triviale; pour la d´emontrer, il est pr´ef´erable de

consid´erer la caract´erisation suivante :

x est dans

A ⇔ il existe une base B(x) au point x telle que B ∩ A 6= ∅, ∀ B ∈ B(x).

On montre cette caract´erisation en se souvenant que A =

C∈C

C, o`u C ﬁgure l’ensemble de

tous les ferm´es C contenant A.

On suppose que tout point x ∈ X a une base d´enombrable de voisinages et on prouve ensuite

l’implication “⇒” : On suppose que x ∈ A. On cr´ee une suite de points de A convergeant

vers x en rangeant les ouverts B de la base B(x) selon la relation directrice “≤” d´eﬁnie par

B ≤ B

:⇔ B ⊃ B

, puis en choisissant un point quelconque dans les ensembles ordr´es B ∩ A.

Cette suite de points de A est bien une suite et cette suite converge vers x.

“⇐” : On suppose qu’il existe une telle suite de points de A qui converge vers x, et il faut

montrer qu’il y a une base B(x) en x avec B ∩ A 6= ∅, ∀ B ∈ B(x). Mais il est clair que pour

toute base en x, tout ouvert de cette base a une intersection non vide avec A. 

En fait, l’implication “⇐” est vraie dans tous les cas alors que l’implication

“⇒” suppose que tout x admette une base d´enombrable de voisinages, ce qui

est le cas des espaces m´etriques, et bien sˆur de C.

On reconnaˆıt que les deux d´eﬁnitions de la densit´e – pour des ensembles

et pour des fonctions – sont les mˆemes, et leur ´equivalence est donn´ee par

l’aﬃrmation en italique ci-dessus. Les alg`ebres de fonctions sont des espaces to-

pologiques munis de la topologie m´etrique, donn´ee par la norme du supremum.

6.2 Des trous ennuyeux

On s’int´eresse maintenant `a nouveau au cas compact. On rappelle l’´enonc´e de

l’aﬃrmation 3.4 :

Soit K ⊂ D un compact dans un domaine D. Si chaque composante born´ee de

C −K a une intersection non vide avec C −D, alors toute fonction holomorphe

sur K se laisse approcher uniform´ement sur K par une suite de fonctions ho-

lomorphes sur D.

Il faut que chaque composante born´ee de C − K ait une intersection non vide

avec C − D. Heureusement, en agrandissant K, on satisfait toujours `a cette

condition. Tout d’abord, pr´ecisons ce qu’on entend par le terme de trou :

D´eﬁnition 6.3 (trou) Soit un domaine D ⊂ C. Un trou de D est une com-

posante compacte de C − D.

Aﬃrmation 6.2 Pour tout compact K ⊂ D, il existe un compact K

⊃ K tel

que chaque composante born´ee de C − K

contient un trou de D.

Nous remarquons que K

n’est pas d´eﬁni de mani`ere unique.

Preuve : Le cas D = C est simple : soit un disque compact K

⊃ K. Alors

C − K

n’a aucune composante compacte. On traite donc le cas D 6= C. On

choisit un ρ avec 0 < ρ < d(K, ∂D). On d´eﬁnit M := {z ∈ D; d(z, ∂D) ≥ ρ};

on a que K ⊂ M. D’autre part, il suit de la d´eﬁnition de M que

C − M =

[

w∈C−D

(w).

M est donc ferm´e dans C. On choisit ensuite un disque compact B avec K ⊂ B.

Pour K

:= M ∩ B, on a que K ⊂ K

⊂ D.

Soit maintenant Z une composante born´ee de C−K

. Puisque C−B est connexe

et non born´ee, et puisque

C − K

= (C − B) ∪ (C − M),

il suit que Z ⊂ C − M. Or pour tout disque B

(w) ⊂ C − M, on a soit que

(w) ⊂ Z, soit que B

(w) ∩ Z = ∅, ceci en raison de la connexit´e de Z. On a

donc

Z =

[

w∈Z−D

(w).

En particulier, Z a une intersection non vide avec C − D. Il existe donc une

composante S de C − D telle que Z ∩ S 6= ∅. Mais C − D ⊂ C − K

implique

que S est contenue dans une composante de C − K

, et S se trouve dans la

composante Z de C − K

. Puisque Z est born´ee, S est aussi born´ee. Donc S

est un trou de D.



Aﬃrmation 6.3 (approximation rationnelle) Soit P ⊂ C−D un ensemble

tel que P a une intersection non vide avec chaque trou de D. Alors C

[z] est

une sous-alg`ebre de O(D), l’alg`ebre des fonctions holomorphes sur D, et C

[z]

y est dense.

Preuve : Soit K un compact dans D. On choisit K

conform´ement `a la

pr´ec´edente aﬃrmation. Chaque composante born´ee de C−K

a une intersection

non vide non seulement avec P , mais aussi avec P . Selon l’aﬃrmation 3.4, on a

que toute fonction de O(D) ⊂ O(K

) se laisse approcher uniform´ement sur K

– et donc ´egalement sur K – par une suite de fonctions de C

[z].

Pour montrer que C[P ] est dense dans O(D), on montre que pour toute fonction

holomorphe sur D, il existe une suite de C[P ] qui converge uniform´ement vers

f sur tout compact de D.

Soit f une fonction de O(D). On consid`ere la suite de compacts donn´ee par

:= {z ∈ D; dist (z, ∂D) ≥ (1/2)

}. Pour tout compact K ⊂ D, il existe

un indice I ∈ N avec K ⊂ K

pour tout i ≥ I. Soient (f

i,j

)

j∈N

, i ∈ N, des

suites de fonctions de C[P ] qui approchent f uniform´ement sur K

. Alors la

suite diagonale (f

i,i

)

i∈N

approche f uniform´ement sur tous les K

, donc aussi

sur tout K ⊂ D. 

Une cons´equence imm´ediate, pour P = ∅ :

Aﬃrmation 6.4 (approximation polynomiale) Si D n’a pas de trou, alors

l’alg`ebre des polynˆomes C[z] est dense dans O(D).

A la suite des caract´erisations apport´ees successivement `a l’ensemble des pˆoles P

des fonctions d’approximation dans la section traitant du th´eor`eme de Runge

pour les compacts, le prochain ´enonc´e introduit une nouvelle caract´erisation

d’importance de P .

Pour une quantit´e de trous quelconque, en particulier lorsque celle-ci est ind´e-

nombrable (par exemple le domaine D := C − C, pour C un ensemble de

Cantor sur l’intervalle [0, 1]), on trouve toujours un ensemble P d´enombrable :

Aﬃrmation 6.5 Pour tout domaine D ⊂ C, il existe un ensemble d´enombrable

P de points appartenant au bord de D qui satisfait `a ce que l’alg`ebre C

[z] soit

dense dans O(D).

Preuve : Chaque trou de D a une intersection non vide avec ∂D.

Et puisque

∂D est un sous-espace de C, il existe un ensemble d´enombrable P ⊂ ∂D tel que

P = ∂D. 

Qu’on se repr´esente l’ensemble E := {x + iy; x, y ∈ Q}. Cet ensemble est

d´enombrable et dense dans C, et pour tout bord ∂D, qu’on consid`ere P :=

E ∩ ∂D ⊂ ∂D.

6.3 Caract´erisation des paires de Runge

Soit une paire de Runge (D

, D) :

Aﬃrmation 6.6 Chaque composante L de C − D

avec L ⊂ D est une com-

posante de D − D

On a L ⊂ D −D

. Mais L est connexe; il y a donc une composante L

de D −D

avec L

⊃ L. Mais L

⊂ C − D

implique que L

⊂ L. De l`a, L

= L.

Aﬃrmation 6.7 Pour tout compact ouvert A ⊂ D − D

, il existe V ouvert et

relativement compact dans D avec A ⊂ V et ∂V ⊂ D

On a D −D

= A∪B, A ∩B = ∅, o`u B est un ferm´e de D −D

. Puisque D −D

est ferm´e dans D, c’est aussi le cas de B. Il existe donc un recouvrement de A

par des disques relativement compacts dans D − B. Par Heine-Borel, il y a V

relativement compact dans D et qui satisfait `a A ⊂ V et V ∩ B = ∅. Il suit de

∂V ∩ B = ∅ = ∂V ∩ A que ∂V ∩ (D − D

) = ∅. De ∂V ⊂ D, on conclut que

∂V ⊂ D

Aﬃrmation 6.8

Les ´enonc´es suivants `a propos de deux domaines D

⊂ D sont ´equivalents.

i) D − D

ne poss`ede aucune composante compacte.

ii) L’alg`ebre de toutes les fonctions rationnelles sans pˆoles dans D est dense

dans O(D

iii) (D

, D) est une paire de Runge.

iv) Il n’y a aucun compact ouvert non vide dans D − D

Preuve : i) ⇒ ii) : Par l’aﬃrmation 6.6, chaque trou de D

contient des points

de P := C −D. Et puisque P ⊂ C − D

, l’alg`ebre C

[z] est dense dans O(D

ii) ⇒ iii) : C’est une cons´equence du fait que les fonctions rationnelles sans

pˆoles dans D appartiennent `a O(D).

iii) ⇒ iv) : Soit A un compact ouvert dans D − D

. On choisit un V selon

l’aﬃrmation 6.7. ∂V est compact, et ∂V ⊂ D

. Supposons par l’absurde que

On a d’une part ∂L ⊂ ∂D et d’autre part ∂L ⊂ L avec ∂L 6= ∅. On conclut que L∩∂D 6= ∅.

A n’est pas vide, et qu’il existe un point a ∈ A. On consid`ere la fonction

(z − a)

−1

∈ O(D

) ainsi qu’une suite g

∈ O(D) avec

lim

n→∞



z − a

− g



∂V



= 0 ⇔ lim

n→∞



1 − (z − a) g

(z)



∂V



= 0,

o`u g



∂V

est la restriction de cette suite `a ∂V . Puisque

V ⊂ D, la suite

(z − a) g

(z) converge uniform´ement vers 1 sur V , en raison du principe du

maximum, ce qui ne peut pas ˆetre le cas parce que a ∈ A ⊂ V . Donc A est vide.

iv) ⇒ i) : C’est l’aﬃrmation 5.4.

Aﬃrmation 6.9 Si P ⊂ C − D

est tel que l’alg`ebre C

[z] est dense dans

O(D

), alors chacun des trous de D

contient des points de P .

On a D

⊂ C −

P et C

[z] ⊂ O (C − P ). Donc (D

, C − P ) forme une paire

de Runge. Par iii) ⇒ i), (C − P ) − D

= C − (P ∪ D

) ne poss`ede aucune

composante compacte. Cela signiﬁe que chaque trou de D

contient des points

de P .

7 Annexe : Espaces localement compacts

et espaces de Tychonoﬀ

Les espaces de Tychonoﬀ forment une classe encore plus sp´eciﬁque que celle des

espaces de Hausdorﬀ.

D´eﬁnition 7.1 X est appel´e un espace de Tychonoﬀ (appel´e ´egalement es-

pace T

ou encore espace compl`etement r´egulier) si X est un espace T

et si pour tout x ∈ X et pour tout ferm´e F ⊂ X tel que x 6∈ F , il existe une

fonction continue f : X → I avec

f(x) = 0 et f(y) = 1, ∀y ∈ F .

Contrairement aux autres espaces d´eﬁnis jusqu’`a pr´esent, qui impliquent seule-

ment des notions se laissant r´eduire `a la notion d’ensemble ouvert, la d´eﬁnition

d’un espace de Tychonoﬀ implique en plus la notion de fonction continue `a

valeurs r´eelles. De l`a, l’invariance topologique d’un espace de Tychonoﬀ, i.e.

le fait que l’image d’un tel espace par un hom´eomorphisme reste un tel es-

pace, ne va plus compl`etement de soi. Cette invariance d´ecoule cependant de

l’observation que la composition f ◦h d’un hom´eomorphisme et d’une fonction

continue redonne une fonction continue.

Aﬃrmation 7.1 Tout espace localement compact est un espace de Tychonoﬀ.

Dans la suite, X est un espace topologique quelconque.

Certains auteurs demandent que X soit de Hausdorﬀ. La d´eﬁnition propos´ee ici vient de

[En], p.61.

D´eﬁnition 7.2 Une famille {A

}

s∈S

de sous-ensembles de X est dite loca-

lement ﬁnie si ∀x ∈ X, il existe un voisinage U de x tel que l’ensemble

{s ∈ S; U ∩ A

6= ∅} est ﬁni.

Aﬃrmation 7.2 Pour toute famille localement ﬁnie {A

}

s∈S

, on a l’´egalit´e

[

s∈S

[

s∈S

Cette ´egalit´e vaut ainsi mˆeme pour un ensemble S ind´enombrable d’indices.

Preuve : Par le fait que A ⊂ B ⇒ A ⊂ B, il suit que A

⊂

s∈S

pour tout

s ∈ S. Donc

s∈S

⊂

s∈S

. C’est pour montrer l’inclusion inverse que l’on

fait usage de la locale ﬁnitude : pour tout x ∈ X, il existe un voisinage U de x

tel que l’ensemble S

= {s ∈ S; U ∩A

6= ∅} est ﬁni. Il suit que x 6∈

s∈(S−S

)

Par le fait que

x ∈

[

s∈S

[

s∈S

∪

[

s∈(S−S

)

il suit que

x ∈

[

s∈S

[

s∈S

⊂

[

s∈S



Une cons´equence triviale :

Aﬃrmation 7.3 Soit F =

s∈S

. Si tous les A

sont ferm´es (ouverts-

ferm´es), alors F est ferm´e (ouvert-ferm´e).

Voici `a ce stade quelques consid´erations sur les fonctions continues.

D´eﬁnition 7.3 Soient X, un recouvrement {A

}

s∈S

de X ainsi qu’une famille

de fonctions {f

}

∈ S avec f

: A

→ Y . On dit que les fonctions sont com-

patibles si pour toute paire s

et s

d’´el´ements de S, on a que

∩ A

= f

∩ A

En posant

f(x) := f

(x) pour x ∈ A

on d´eﬁnit une fonction f : X → Y qu’on nomme la combinaison des fonc-

tions {f

}

∈ S et qu’on d´enote par le symbole ∇

s∈S

Si les fonctions compatibles sont continues, alors leur combinaison est aussi

continue. Pr´ecis´ement :

Aﬃrmation 7.4 Soit {U

}

s∈S

un recouvrement (pas forc´ement localement ﬁni !)

d’ouverts d’un espace X et {f

}

s∈S

une famille de fonctions continues compa-

tibles, avec f

: F

→ Y . Alors la combinaison f = ∇

s∈S

est une fonction

continue f : X → Y .

Preuve : Pour tout sous-espace ouvert U de Y , on a que

−1

(U) =

[

s∈S

−1

(U).

Chaque ensemble f

−1

(U) est ouvert dans U

, et donc dans X. Leur union quel-

conque aussi. 

Aﬃrmation 7.5 (2.1.13) Soit {F

}

s∈S

un recouvrement localement ﬁni de

ferm´es d’un espace X et {f

}

s∈S

une famille de fonctions continues compatibles,

avec f

: F

→ Y . Alors la combinaison ∇

s∈S

est une fonction continue

f : X → Y .

Preuve : Pour chaque sous-espace ferm´e F de Y , on a que

−1

(F ) =

[

s∈S

−1

(F ).

L’ensemble f

−1

(F ) est ferm´e dans F

, et donc aussi dans X. Puisque la famille

−1

(F )}

s∈S

est localement ﬁnie, l’aﬃrmation 7.3 implique que l’image inverse

de f

−1

(F ) est ferm´ee dans X. 

On en arrive `a la preuve `a proprement parler de l’aﬃrmation 7.1 :

Preuve : Soit x ∈ X, o`u l’espace X est localement compact. Soit ensuite F un

sous-espace ferm´e de X tel que x 6∈ F . On consid`ere un voisinage ouvert U de

x tel que U est compact. L’ensemble

= (U − U) ∪ (U ∩ F )

est un sous-espace ferm´e de U. Puisque x ∈ U −F

, il existe (i.e. il est possible

de d´eﬁnir) une fonction f

: U → [0, 1] avec f

(x) = 0 et f

(y) = 1 pour tout

y ∈ F

. Puisque

U ∩(X − U) = U − U ⊂ F

la combinaison f de f

et de la fonction constante f

: X − U → [0, 1] d´eﬁnie

en posant f

(y) = 1 pour tout y ∈ X − U est une fonction continue, selon

l’aﬃrmation 7.5. On constate que f(x) = 0 et f(F ) ⊂ {1}. 

R´ef´erences

[En] ENGELKING, R. : General Topology, Pa´nstwowe Wydawnictwo Naukowe

(PWN), 1977

[FiLi] FISCHER, W., LIEB, I : Funktionentheorie, Vieweg Studium, 5

`eme

´ed.

1988

[FrBu] FREITAG, E., BUSAM, R. : Funktionentheorie, Springer Verlag,

`eme

´ed. 1995

[Ga] GAIER, D. : Vorlesungen

uber Approximation im Komplexen, Birkh

auser,

1980

[Jae1] J

ANICH, K. : Funktionentheorie. Eine Einf

uhrung, Springer Verlag,

`eme

´ed. 1999

[Jae2] J

ANICH, K. : Topology, Springer Verlag, 1984

[Re1] REMMERT, R. : Funktionentheorie 1, Springer Verlag, 3

`eme

´ed. 1992

[Re2] REMMERT, R. : Funktionentheorie 2, Springer Verlag, 3

`eme

´ed. 1992

[Ru] RUNGE, C. : Theorie und Praxis der Reihen, G. J. G

oschen’sche Verlags-

handlung, 1904