El´ements de la th´eorie des fonctions
Aide-m´emoire
Table des mati`eres
1 R-diff´erentiabilit´e 1
2 C-diff´erentiabilit´e 3
2.1 R- et C-lin´earit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Recherche d’une primitive 4
4 le th´eor`eme de Cauchy 4
5 Cons´equences 8
5.1 le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6 courbes 0-homoLOGUES 10
6.1 La forme g´en´erale du th´eor`eme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . 11
7 D´eveloppement en une s´erie de Laurent 14
7.1 Etablissement des s´eries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 R-diff´erentiabilit´e
La raison pour laquelle je consid`ere la R-diff´erentiabilit´e est cette expression de
la d´eriv´ee en quotient de diff´erences, qu’on trouve juste ci-dessous. Je me pose
en effet la question de savoir s’il faut diviser dans cette expression par h ou
bien par |h| lorsque l’on consid`ere la d´eriv´ee dans C.
Soit l’application f de R
n
dans R
m
. Sa d´eriv´ee en x ∈ R
n
est l’application
lin´eaire df(x) : R
n
→ R
m
telle que f(x + h) = f(x) + df(x)(h) + R
x
(h), avec
R
x
(h)
|h|
→ 0 pour h → 0. De l`a,
df(x)(
h
|h|
) = lim
h→0
f(x + h) − f (x)
|h|
,
o`u
h
|h|
est le vecteur unitaire de mˆeme direction que h. Cette expression s’appelle
la d´eriv´ee de f en direction de h. Cette notion de direction n’a de sens que si
h ne tend vers 0 que d’une seule direction. Par la lin´earit´e de df(x), et puisque
h =
P
n
i=1
λ
i
e
i
pour la base canonique de R
n
, on a que
df(x)(
h
|h|
) =
n
X
i=1
λ
i
df(x)(e
i
).
1
On ´ecrit habituellement que ∂
i
f(x) := df(x)(e
i
), et on a que
df(x)(
h
|h|
) =
n
X
i=1
λ
i
∂
i
f(x).
Affirmation 1 On a l’´egalit´e df (x)(h) = f
0
(x) · h, o`u la multiplication est la
multiplication matricielle et o`u f
0
(x) est la matrice de df(x).
En effet, toute application lin´eaire R
n
→ R
m
est donn´ee par un syst`eme de
m ´equations lin´eaires et peut ˆetre vue comme la multiplication `a gauche de
son argument (un vecteur-colonne h dans R
n
) avec une matrice A (m × n). La
matrice f
0
(x) est donn´ee par
f
0
(x) =
∂
1
f
1
(x) ∂
2
f
1
(x) ··· ∂
n
f
1
(x)
∂
1
f
2
(x)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∂
1
f
m
(x) ∂
n
f
m
(x)
.
Remarque 1 Puisque R
n
et R
m
sont des espaces vectoriels sur le corps des
r´eels, les applications lin´eaires R
n
→ R
m
sont R-lin´eaires.
A ce stade, je vais essayer de r´epondre `a la question du d´ebut, `a savoir si l’on
doit diviser par |h| ou bien par h dans l’expression de la d´eriv´ee en quotient de
diff´erences.
On a que f est diff. en z
0
⇔ f(z) = f(z
0
) + L(z
0
) · (z − z
0
) + ρ(z) · (z −z
0
)
|
{z }
=R
z
0
(z−z
0
)
,
avec ρ(z
0
)=0 et ρ continue en z
0
. Cette mani`ere d’´ecrire le reste est meilleure.
Elle permet en effet d’expliquer la condition qu’il faut effectivement poser sur le
reste, si la condition `a poser est
R
x
(h)
|h|
→ 0 ou au contraire
R
x
(h)
h
→ 0, pour h →
0. ρ figure en effet qu’on ne peut pas ajouter une autre fonction lin´eaire L
0
(z
0
)
t.q. (L + L
0
)(z
0
) serait une meilleure approximation que L(z
0
). La continuit´e
de ρ est quant `a elle cons´equence du fait que f(z)
|
{z}
fct. exacte
−f(z
0
) − (L(z
0
)(z − z
0
))
| {z }
approx.
est continue puisque c’est la diff´erence de deux fonctions continues. Avec la
nouvelle interpr´etation du reste, on voit que ρ est multipli´e par (z −z
0
) et non
pas par |z − z
0
|. Demander que R/|z − z
0
| → 0 implique que R/(z − z
0
) → 0,
mais on a que
R
z
0
/|z − z
0
| → 0 ⇔ ρ
z − z
0
|z − z
0
|
→ 0,
o`u
z−z
0
|z−z
0
|
est un vecteur unitaire. Ainsi, en divisant par |h|, la d´eriv´ee de f en
z
0
est une d´eriv´ee directionnelle (en direction de z −z
0
). Ce n’est pas le cas en
divisant par h, puisqu’alors la fraction
z−z
0
z−z
0
= 1 se simplifie. et la d´eriv´ee de
d´epend plus de la direction de z − z
0
. On a respectivement
lim
f(z) − f (z
0
)
|z − z
0
|
= L(z
0
)·(
z − z
0
|z − z
0
|
) et lim
f(z) − f(z
0
)
z − z
0
= L(z
0
)·1 = L(z
0
).
La premi`ere expression de L(z
0
) est une matrice. La seconde est un nombre
complexe.
2
2 C-diff´erentiabilit´e
Une application C-diff´erentiable T : C → C doit ˆetre C-lin´eaire. Pourquoi ?
2.1 R- et C-lin´earit´e
Une application T est R-lin´eaire si pour z = x + iy, x, y ∈ R,
T (z) = T (x + iy) = xT (1) + yT (i).
Elle est C-lin´eaire si T (z) = xT (1) + iyT (1) = zT (1).
On consid`ere maintenant que C est l’espace R
2
muni de la multiplication d’alg`ebre
suivante:
a
b
0
1
=
0
1
a
b
=
−b
a
Alors
T(i)=iT(1) ⇐⇒
a b
c d
·
0
1
|
{z }
=
b
d
=
0
1
a b
c d
·
1
0
|
{z }
=
a
c
⇐⇒
b
d
=
−c
a
⇐⇒
a = d
b = −c
.
Autrement dit, l’application T est C-lin´eaire si et seulement si elle est de la
forme
a b
−b a
.
Affirmation 2 f est C-diff´erentiable en z ∈ C si et seulement si df(z) est
R-diff´erentiable et C-lin´eaire. Une telle d´eriv´ee satisfait aux ´equations dites de
Cauchy-Riemann :
∂
1
f
1
(z) = ∂
2
f
2
(z)
∂
2
f
1
(z) = −∂
1
f
2
(z)
.
Remarque 2 Dans le cas o`u
a b
−b a
= a
2
+ b
2
= 1, on a affaire `a une
matrice de rotation.
En effet, dans ce cas, il existe α tel que a = cos(α) et b = sin(α).
On voit ainsi que toute application C-lin´eaire est de la forme
a b
−b a
a b
−b a
·
a b
−b a
= matrice de rotation · facteur r´eel d’homoth´etie avec centre `a l’origine.
Une fonction C-diff´erentiable est aussi appel´ee holomorphe.
3
3 Recherche d’une primitive
Comme dans R, on peut se demander si une fonction donn´ee d´efinie sur une
partie de C poss`ede une primitive. Mais contrairement aux fonctions d´efinies
sur R, il ne suffit pas qu’une fonction d´efinie sur C soit continue pour qu’elle
poss`ede une int´egrale (l’int´egrale sur C est d´efinie comme une int´egrale sur un
chemin dans C). Les propositions suivantes sont ´equivalentes.
1. f : D → C poss`ede une primitive sur D.
2. L’int´egrale de f sur tout chemin ferm´e dans D vaut 0.
3. L’int´egrale entre deux points dans D ne d´epend pas du chemin entre ces
deux points.
On prouve 1) ⇒ 2), 2) ⇒ 3) et 3) ⇒ 1). Cette derni`ere implication est en fait
le th´eor`eme de Morera.
4 le th´eor`eme de Cauchy
Pour toute courbe ferm´ee dans C, un int´erieur de la courbe est clairement d´efini
(selon Jordan). On peut le d´efinir au moyen de la fonction U “Umlaufzahl” : z
est un point de l’int´erieur de la courbe γ ⇔ U
γ
(z) 6= 0. Je peux ainsi dire par
exemple qu’une fonction est holomorphe dans la courbe ferm´ee γ.
Affirmation 3 (Cauchy) Soit une courbe R ayant pour trace le bord d’un
rectangle. Soit f une fonction holomorphe sur la fermeture de l’int´erieur de R.
Alors
R
R
fdξ = 0.
Preuve : Le th´eor`eme est trivial si f poss`ede une primitive; qu’on se rappelle
que f(z + h) = f(z) + f
0
(z) h + r
z
(h) : tous ces termes ont une primitive, sauf
r
z
(h). Il suffit donc de v´erifier le th´eor`eme pour f = r
z
.
Pour tous z
0
6= z
1
sur le rectangle, on a que
f(z) = f(z
0
) + f
0
(z
0
)(z −z
0
) + r
0
(z −z
0
) = f(z
1
) + f
0
(z
1
)(z −z
1
) + r
1
(z −z
1
).
De l`a et pour tout chemin ferm´e γ,
R
γ
r
0
(ξ)dξ =
R
γ
r
1
(ξ)dξ. On peut donc d´efinir
ind´ependamment du choix de z
0
une suite de rectangles emboˆıt´es de la mani`ere
suivante :
Soit z
0
dans le rectangle, de bord
R =: R
0
. On coupe en quatre ce
rectangle selon la figure ci-contre.
On a ainsi 4 rectangles, dont on ap-
pellera les bords R
(i)
, i = 1, ···, 4.
On choisira le prochain rectangle
de la suite - dont le bord sera ap-
pel´e R
1
- tel que |
R
R
1
r
0
(ξ)dξ| = Max{|
R
R
(i)
r
0
(ξ)dξ|; i = 1, ···, 4}.
4
Et ainsi de suite, on d´efinit une suite de rectangles emboˆıt´es (R
i
). On a les re-
lations suivantes :
|
Z
R
0
r
0
(ξ)dξ| ≤ 4 · |
Z
R
1
r
0
(ξ)dξ| et |
Z
R
0
r
0
(ξ)dξ| ≤ 4
i
· |
Z
R
i
r
0
(ξ)dξ|.
Cette suite de rectangles emboˆıt´es converge vers un point a, ind´ependamment
du choix de z
0
. On peut donc poser z
0
= a. Pour cette limite z
0
, on a que (∗)
r
0
(h)
|h|
→ 0 pour h → 0 ⇐⇒ ∀ε, ∃δ tel que |h| ≤ δ ⇒ |r(h)| ≤ ε·δ.
De l`a, ∃J tel que ∀i ≥ J, on a que ∀z, z
0
∈ R
i
, |z−z
0
| ≤ δ et
Z
R
i
r
0
(ξ)dξ ≤
L
2
i
·ε·δ,
o`u L est la longueur du bord R
0
du grand rectangle
1
. Or δ se laisse majorer. Mais
on doit ´eviter une majorisation trop grossi`ere, par exemple par une constante.
δ est en effet toujours plus petit ou ´egal `a la diagonale d’un rectangle R
I
, et en
g´en´eral `a toute constante arbitraire
2
strictement positive. Autrement dit, si on
appelle la longueur du grand rectangle l et sa largeur b (donc l ≥ b), ∃I tel que
∀i ≤ I,
δ ≤
s
l
2
i
2
+
b
2
i
2
≤
s
2 ·
l
2
i
2
=
√
2 ·
l
2
i
.
Notre δ est donc tel qu’il existe un rectangle de bord R
J
dont la diagonale
et son majorant
√
2 · l/2
J
sont plus petits que δ et un rectangle de bord R
I
dont la diagonale et son majorant
√
2 · l/2
I
sont plus grands que δ. Appelons
d
J
:=
√
2 ·l/2
J
le majorant de la diagonale de R
J
. Alors d
J
satisfait ´egalement
(∗), et c’est pourquoi on peut red´efinir que δ := d
J
. D’autre part, pour ce
nouveau δ :=
√
2 · l/2
J
, on peut poser I = J.
Pour ε fix´e, il existe donc J tel que pour tout i ≤ I et i ≥ J =: I, i.e. pour
i = J, on a que
|
Z
R
i
r
0
(ξ)dξ| ≤
L
2
i
· ε ·
√
2 ·
l
2
i
.
Les ‘i’ disparaissent de l’expression et on obtient finalement
|
Z
R
0
r
0
(ξ)dξ| ≤ 4
i
·
L
2
i
· ε ·
√
2 ·
l
2
i
=
√
2 · L · l · ε.
Puisque ceci est valable pour tout ε, et en particulier pour tout ε → 0, il est
clair que
R
R
0
r
0
(ξ)dξ = 0.
On g´en´eralise ce th´eor`eme pour les rectangles d´eform´es continˆument, i.e. pour
une classe beaucoup plus grande de courbes ferm´ees.
1
La diagonale de ce rectangle de bord R
J
doit ˆetre plus petite que δ.
2
En effet : pour tout δ
0
satisfaisant `a |h| ≤ δ
0
⇒ |r(h)| ≤ ε · δ
0
, tout δ
00
avec 0 < δ
00
< δ
0
y
satisfait ´egalement. On peut donc prendre δ (positif et non nul) aussi petit qu’on veut.
5
Affirmation 4 (Cauchy) Soit un rectangle de bord R et soit une application
continue g d´efinie sur ce rectangle. soit f une fonction holomorphe d´efinie sur
l’image par g de ce rectangle. Alors
R
g◦R
f = 0, i.e. l’int´egrale de f sur le bord
du rectangle d´eform´e par l’application g est nulle.
Preuve : Comme dans le th´eor`eme pr´ec´edent, il suffit de montrer le th´eor`eme
pour f = r
0
. En effet, si γ est un chemin ferm´e, alors son image par une appli-
cation continue est aussi un chemin ferm´e. On construit une suite de rectangles
emboˆıt´es qui converge vers un z
0
. On pose R
0
:= R et on coupe le rectangle de
bord R
0
en 4 rectangles ´egaux de bords R
i
, i = 1, ···, 4. On choisit parmi ces 4
rectangles un rectangle dont on appellera le bord R
1
et qui est tel que
|
Z
R
1
r
0
(ξ)dξ| = Max{|
Z
R
(i)
r
0
(ξ)dξ|; i = 1, ···, 4}.
Et ainsi de suite, on d´efinit une suite de rectangles emboˆıt´es (R
i
). On a les
relations suivantes :
|
Z
g◦R
0
r
0
(ξ)dξ| ≤ 4 · |
Z
g◦R
1
r
0
(ξ)dξ| et |
Z
g◦R
0
r
0
(ξ)dξ| ≤ 4
i
· |
Z
g◦R
i
r
0
(ξ)dξ|.
Comme dans le th´eor`eme pr´ec´edent, et selon (∗), ∃M tel que ∀i ≥ M, on a
que
z, z
0
∈ g ◦ R
i
=⇒ |z −z
0
| ≤ δ, et
Z
g◦R
i
r
0
(ξ)dξ ≤
L
2
i
· ε · δ.
Figure 1: A = l/2
i
, B = b/2
i
et
D = D. D repr´esente ici la variation
“maximale” qui n’est jamais d´epass´ee.
Mais est-ce que ce M existe vraiment ?
Pour s’en convaincre : nous savons que
l’affirmation est correcte pour g = 1, se-
lon le th´eor`eme pr´ec´edent. Or comme la
d´eformation par g est continue, elle est
born´ee : par la continuit´e de g, on a que
pour toute constante (r´eelle et stricte-
ment positive) arbitraire D, il existe K
tel que ∀i ≥ K, |z − z
0
| <
√
2 · l/2
i
⇒
|g(z) − g(z
0
)| < D.
Cette expression de la continuit´e ne signi-
fie rien d’autre que ceci : soit un rectangle
de bord R
i
, i ≥ K, dont la diagonale est plus petite ou ´egale `a
√
2 ·l/2
K
. Alors
son image par g est comprise dans un plus grand rectangle, dont les cˆot´es sont
plus longs de 2D que les cˆot´es de ce rectangle-l`a, comme la figure ci-contre
l’illustre. Il est clair que K d´epend de D.
La proc´edure est donc : on choisit ε. On consid`ere ensuite le J de la preuve
pr´ec´edente, du cas g = 1. On choisit D tel que
2 · D < le plus petit cˆot´e du rectangle de bord R
J
⇐⇒ D <
1
2
·
b
2
J
6
Soit P le plus petit indice tel que b/2
J
= b/2
P
+ 2 · D. On pose enfin que
M := min{P, K(D)}. Pour ce M, on a que
z, z
0
∈ g ◦ R
M
=⇒ |z − z
0
| ≤ diagonale du rectangle de bord R
J
≤
√
2 ·
l
2
J
=⇒ |r
0
(z − z
0
)| ≤
√
2 ·
l
2
J
· ε.
Figure 2: Il faut poser une condition
suppl´ementaire `a g; sa simple continuit´e ne
suffit apparemment pas.
Malheureusement, je ne peux pas
aller plus loin dans le raisonnement.
J’aimerais bien pouvoir dire quelque
chose sur
Z
g◦R
M
1 dξ ≤ ··· ,
mais je ne le peux pas, comme le
montre la figure ci-jointe. La lon-
gueur de g◦R
M
peut de loin d´epasser
celle de R
J
, bien que g ◦ R
M
soit
comprise `a l’int´erieur de R
J
.
Il faut poser une condition suppl´ementaire sur la fonction continue g de
mani`ere `a pouvoir borner la longueur de l’image de la courbe born´ee R
M
.
Dans le cas o`u g est continˆument diff´erentiable, alors dg est born´ee sur le grand
rectangle de bord R
0
puisque celui-ci est compact. Appelons cette borne C.
Dans ce cas on pourrait borner aussi la longueur de la courbe g ◦ R
M
, qui est
L(g ◦ R
M
) =
R
g◦R
M
dξ. Il existe en effet une param´etrisation de R
M
. Pour cette
param´etrisation t 7→ R
M
(t),
Z
g◦R
M
dξ =
1
Z
0
kd[g ◦ R
M
(τ)] k d τ .
Or puisque d[g ◦ R
M
] = d[g] ◦ R
M
· d[R
M
] et que d[g] ◦ R
M
≤ C, on a
1
Z
0
kd[g ◦ R
M
(τ)] k d τ ≤ C ·
1
Z
0
kd[R
M
](τ)kd τ
|
{z }
=longueur de R
M
= C ·
l
2
M
.
Achever la preuve est maintenant simple.
Z
g◦R
0
r
0
(ξ)d ξ
≤ 4
M
·
√
2 ·
L
2
M
·
l
2
M
· C ·ε =
√
2 · L · l · C ·ε
ε→0
−→ 0.
7
On peut se demander si le mˆeme th´eor`eme avec le mˆeme raisonnement vaut pour
R
2
au lieu de C. Autrement dit : qu’est-ce qui, dans la preuve du th´eor`eme,
n´ecessite qu’on consid`ere C et non pas R
2
?
Remarque 3 Ce dernier th´eor`eme n’est en fait pas incontournable : il existe
en effet une autre construction de la th´eorie des fonctions qui s’en passe. Il
est possible de ne prouver que le th´eor`eme de Cauchy pour les rectangles - ou
bien pour des triangles, ce qui s’appelle alors le th´eor`eme de Goursat - et de
d´evelopper avec ce seul r´esultat la th´eorie jusqu’`a la notion d’homologie. A ce
point, on montre que les int´egrales d’une mˆeme fonction holomorphe le long
de deux cycles homologues sont ´egales. Et de remarquer qu’un rectangle est
homologue avec son image d´eform´ee.
On peut objecter qu’on a alors des probl`emes `a introduire la notion de nombre
de tours qui est n´ecessaire `a celle d’homologie si l’on se restreint au th´eor`eme
de Cauchy pour les rectangles. Mais il est possible d’y arriver selon le livre de
K. J
¨
anich.
Remarque 4 Remarquons ´egalement qu’il serait pr´ef´erable de disposer du th´eor`eme
de Goursat (pour les triangles) que celui pour les rectangles.
5 Cons´equences
Affirmation 5 (la formule de Cauchy)
R
|ξ−z|=ε
f(ξ)−f(z)
ξ−z
dξ =
R
|ξ−a|=R
f(ξ)−f(z)
ξ−z
dξ, ∀ε > 0. Or
lim
ε→0
Z
|ξ−z|=ε
f(ξ) − f(z)
ξ − z
dξ = 0. (A montrer)
De l`a,
f(z) =
1
2πi
·
Z
|ξ−a|=R
f(ξ) − f(z)
ξ − z
dξ.
Je trouve que le raisonnement qui m`ene `a la formule de Cauchy n’est pas in-
tuitif : comment en vient-on `a consid´erer deux disques l’un dans l’autre ainsi
que la fonction g(ξ) =
(
f(ξ)−f(z)
ξ−z
si ξ 6= z
f
0
(z) si ξ = z
? Il est en revanche possible de
commencer par consid´erer que l’int´egrale de 1/(ξ − a) sur le cercle standard
de centre c vaut 2πi dans le cas o`u c = a. La question de montrer que cette
int´egrale vaut encore 2πi si l’on d´eplace un peu a est naturelle (tant que a reste
`a l’int´erieur du disque standard autour de c). On montre alors naturellement
que
Z
|ξ−c|=R
dξ
ξ − c
=
Z
|ξ−c|=R
dξ
ξ − a
.
8
Le th´eor`eme d’interversion de Leibniz ∂
x
R
f(t, x)dt =
R
∂
x
f(t, x)dt permet
la formule g´en´erale
f
(n)
(z) =
n!
2πi
·
Z
|ξ−a|=R
f(ξ) − f(z)
(ξ − z)
n+1
dξ.
Ce r´esultat prouve qu’une fonction d´erivable est infiniment de fois d´erivable.
Affirmation 6 (D´eveloppement en une s´erie de puissances)
On suppose que a = 0. Alors
|z|
|ξ|
< 0 pour tous les z `a l’int´erieur du cercle
de rayon R. On peut dans ce cas exprimer f(z) comme f(z) =
∞
P
i=0
c
i
· z
i
, avec
c
i
=
1
2πi
·
R
|ξ|=R
f(ξ)
ξ
(i+1)
dξ. Le seul aspect difficile de la preuve est de montrer qu’on
peut intervertir les symboles
R
et
P
. Autrement dit, montrer l’´egalit´e
f(z) =
1
2πi
·
Z
|ξ|=R
f(ξ)
ξ
·
∞
X
i=0
z
ξ
i
dξ =
1
2πi
·
∞
X
i=0
Z
|ξ|=R
f(ξ)
ξ
i+1
dξ
· z
i
.
Mais l’´echange des symboles
R
et
P
est un cas particulier de l’´echange
R
et
lim
n→∞
dans l’expression lim
n→∞
R
f
n
, pour une suite f
n
. Cet ´echange est permis si
la suite est uniform´ement convergente. C’est le cas pour une suite de polynˆomes
(convergence normale). Il suffit de voir que
R
γ
f
n
−
R
γ
lim
n→∞
f
n
≤ L(γ) ·ε, pour
|f
n
− lim
n→∞
f
n
| < ε.
Affirmation 7
Pour a non forc´ement nul, on a que
f(z) =
∞
X
i=0
c
i
· (z − a)
i
, avec c
i
=
1
2πi
·
Z
|ξ−a|=R
f(ξ)
ξ
(i+1)
dξ.
Pour le v´erifier, il convient de d’abord voir que pour une courbe lisse quelconque
γ, on a la translation suivante :
R
γ
g(ξ)dξ =
R
γ−a
g(ξ + a)dξ. On consid`ere ensuite
la formule de Cauchy, pour un centre du cercle d’int´egration a quelconque. On
le translate de −a et on applique la formule du cas a = 0. Remarquons qu’on
ne peut esp´erer obtenir les coefficients de la s´erie de puissances en z −a `a partir
de ceux de la s´erie en z en appliquant `a la formule int´egrale de ces derniers la
“translation”. En effet, cette formule de “translation” ne donne pas la nouvelle
valeur d’une int´egrale suite `a la translation de la courbe sur laquelle elle est
calcul´ee, mais donne bien une ´egalit´e, i.e. deux expressions ´egales. On peut
´evidemment calculer directement la formule pour a quelconque. Il faut alors
consid´erer
1
ξ − z
=
1
ξ − a − z + a
=
1
(ξ − a) − (z − a)
=
1
1 −
z−a
ξ−a
=
∞
X
i=0
z − a
ξ − a
i
.
9
Figure 3: Les rayons du grand et
du petit disque sont resp. de R et ε.
Ce dernier tend vers 0. f est holo-
morphe dans la fermeture de la par-
tie hˆachur´ee.
Remarque 5 On parle quelques fois du point
`a partir duquel la s´erie f(z) =
∞
P
i=0
c
i
·(z −a)
i
est d´evelopp´ee. Ce point de d´eveloppement
de la s´erie de puissance n’a de sens qu’une
fois qu’on a ´etabli que cette s´erie est une
s´erie de Taylor. Son point de d´eveloppement
est a : c’est la s´erie de Taylor au point a.
Un r´esultat essentiel est celui de Weierstrass :
on peut d´eriver une s´erie de puissances terme
`a terme. Il faut montrer que
• Une s´erie de puissances converge normalement `a l’int´erieur de son disque
de convergence,
• Une s´erie qui converge normalement converge absolument et localement
uniform´ement,
• Toute s´erie de fonctions qui converge uniform´ement sur une partie D s’y
laisse d´eriver terme `a terme. Il suffit de voir que
R
γ
f
n
−
R
γ
lim
n→∞
f
n
≤
L(γ) · ε, pour |f
n
− lim
n→∞
f
n
| < ε.
5.1 le logarithme
Le plan complexe priv´e d’une demi-droite est le plus grand domaine ´etoil´e sur
lequel le logarithme poss`ede une primitive, puisque 0 ne doit en aucun cas
appartenir `a l’ensemble de d´efinition du logarithme. Le logarithme restreint
sur le plan complexe priv´e d’une demi-droite se laisse donc int´egrer entre deux
points ind´ependamment du chemin. Il est en bijection avec une bande ouverte.
Mais si l’on restreint ces deux domaines `a R, il n’y a plus qu’un seul logarithme
possible, i.e. tel que log : R → R et exp : R → R. En particulier, on ne
pourrait pas construire un log d´efini uniquement sur R
−
. Selon Taylor,
log(1 + z) = log(1)
|
{z}
=0
+ log
0
(1) · z +
1
2!
·log
00
(1) · z
2
+ ··· = z −
z
2
2
+
z
3
3
−
z
4
4
+ ···
Cette s´erie de puissances converge sur le disque ouvert de centre et de rayon 1.
Comment faire pour trouver la s´erie pour un z en dehors de ce disque ?
6 courbes 0-homoLOGUES
Rapport entre homotopie et homologie.
10
D´efinition 1 (cycle) Un cycle est une combinaison lin´eaire de courbes ferm´ees.
On peut voir cette combinaison comme une seule et mˆeme courbe ferm´ee en
remarquant que l’on peut relier les courbes ferm´ees du cycle au moyen d’un
chemin, selon la figure ci-contre.
Figure 4: L’int´egrale le long du chemin de
liaison des deux courbes ferm´ees s’annule. On
peut donc le n´egliger; ce qui motive la notion
de cycle.
Je rappelle que deux courbes sont
dites homotopes s’il existe une trans-
formation continue de l’une vers l’autre.
De plus, pour deux chemins homo-
topes dans le domaine D α et β
ayant mˆemes points de d´epart et
d’arriv´ee, et pour une fonction f
holomorphe sur D, l’int´egrale de f
le long de α est la mˆeme que celle
le long de β. Autrement dit, l’int´egrale
sur le chemin ferm´e αβ
−1
est nulle.
C’est une cons´equence du th´eor`eme de monodromie.
Mais dans la mesure o`u l’on ne parle pas de la notion de prolongement analy-
tique, on n’est pas oblig´e de prouver le th´eor`eme de monodromie (qui se prouve
localement).
D´efinition 2 (0-homologie) Soit γ une courbe ferm´ee. Son int´erieur est
Int
γ
:= {z ∈ C − γ; U
γ
(z) 6= 0}. γ est 0-homologue dans le domaine D si
son int´erieur est inclus dans D.
6.1 La forme g´en´erale du th´eor`eme de Cauchy
Affirmation 8 (la forme g´en´erale du th´eor`eme de Cauchy)
Soit f : D → C holomorphe sur le domaine D. Soit un cycle γ 0-homologue
dans D. Alors
U
γ
(z)f
(k)
(z) =
k!
2πi
Z
γ
f(ξ)
(ξ − z)
k+1
dξ
On prouve le cas k = 0 : (∗)
U
γ
(z)f(z) =
1
2πi
Z
γ
f(ξ)
ξ − z
dξ ⇐⇒ 0 =
Z
γ
f(ξ) − f(z)
ξ − z
dξ,
pour z ∈ D − |γ|. On passe du cas k = 0 au cas g´en´eral en d´erivant sous
l’int´egrale, par la r`egle de Leibniz. Pour la preuve, on a recours au th´eor`eme de
Liouville qui affirme qu’une fonction enti`ere born´ee est constante.
Un preuve peut-ˆetre plus abordable intuitivement est propos´ee par K. J
¨
anich:
Funktionentheorie. Il montre 4 points assez intuitifs :
1. L’int´egrale sur tout cycle dans D est toujours ´egale `a l’int´egrale sur une
seule courbe ferm´ee dans D.
2. L’int´egrale sur toute courbe ferm´ee dans D est ´egale `a l’int´egrale sur une
courbe bris´ee (sur un quadrillage) dans D.
11
3. Pour toute courbe bris´e ferm´ee, on peut trouver une composition d’un
ensemble de courbes bris´ees telle que, compos´ees `a la premi`ere, elle forme
une courbe bris´ee ferm´e qui ne tourne autour d’aucun point de C, i.e.
dont U(z) = 0 pour tout z.
4. Toute courbe bris´ee ferm´ee qui ne tourne autour d’aucun point parcourt
chacun de ses segments autant de fois dans une direction que dans l’autre,
de telle mani`ere que l’int´egrale sur elle est nulle.
Mais voici la preuve standard.
Preuve : On montre que l’int´egrale (∗) – vue comme fonction en z – se laisse
prolonger en une fonction holomorphe sur tout C.
On consid`ere l’int´egrant de (∗) comme fonction de z et de ξ. On prolonge cette
fonction pour qu’elle soit ´egalement d´efinie pour z = ξ :
g(ξ, z) :=
(
f(ξ)−f(z)
ξ−z
, z 6= ξ,
f
0
(z), z = ξ.
g est d´efinie sur D ×D; on montre la continuit´e dans les deux variables. Dans le
cas (ξ
0
, z
0
) ∈ D×D avec ξ
0
6= z
0
, g est trivialement continue. On consid`ere donc
le cas ξ
0
= z
0
. On choisit un voisinage U
δ
(z
0
) ⊂ U et on regarde g(ξ, z)−g(z
0
, z
0
)
sur U
δ
(z
0
) ×U
δ
(z
0
). Si z = ξ, alors g(z, z) −g(z
0
, z
0
) = f
0
(z) −f
0
(z
0
). Si z 6= ξ,
alors
g(ξ, z) − g(z
0
, z
0
) =
f(ξ) − f(z)
ξ − z
− f
0
(z
0
) =
1
ξ − z
Z
[z, ξ]
(f
0
(w) − f
0
(z
0
))dw.
Par la formule de Cauchy pour les cercles, f
0
est continue en z
0
. Pour un ε > 0
arbitraire, on peut donc choisir un δ > 0 tel que
|f
0
(w) − f
0
(z
0
)| < ε,
pour tout w ∈ U
δ
(z
0
). Il reste `a montrer que
|g(ξ, z) − g(z
0
, z
0
)| ≤
1
|ξ − z|
|ξ − z| sup
w∈[ξ, z]
|f
0
(w) − f
0
(z
0
)| < ε.
On pose ensuite
h
0
(z) :=
Z
γ
g(ξ, z)dξ.
h
0
est continue sur D; par Morera, on montre que h
0
est en plus holomorphe
sur D :
Soit 4 le bord orient´e d’un triangle (plein) dans D. On doit montrer que
Z
4
h
0
(z)dz = 0.
12
Or
Z
4
h
0
(z)dz =
Z
4
Z
γ
g(ξ, z)dξ
dz =
Z
γ
Z
4
g(ξ, z)dz
dξ,
par le th´eor`eme d’interversion de Leibniz (Je crois plutˆot de Fubini.). Pour ξ
fix´e, la fonction g(ξ, z) est holomorphe sur D comme fonction de z lorsque z 6= ξ;
puisque elle est continue en z = ξ, elle est donc holomorphe sur tout D. Par le
th´eor`eme de Cauchy,
R
γ
g(ξ, z)dz = 0. L’affirmation suit.
On n’a jusqu’`a ce point de la preuve pas us´e du fait que le cycle γ est 0-
homologue dans D. Or la fonction h
0
(z) se laisse ´ecrire plus simplement sur
D ∩ ext γ :
h
0
(z) =
Z
γ
f(ξ) − f(z)
ξ − z
dξ =
Z
γ
f(ξ)
ξ − z
dξ −
Z
γ
f(z)
ξ − z
dξ
|
{z }
=2πi·U
γ
(z)=0
=: h
1
(z).
Mais h
1
(z) est bien sˆur holomorphe sur tout ext γ. On d´efinit
h(z) :=
h
0
(z) pour z ∈ D,
h
1
(z) pour z ∈ ext γ.
Par la 0-homologie de γ dans D, on a que
D ∪ ext γ = C.
La fonction h(z) est donc une fonction enti`ere. On montre que h(z) est born´ee,
et par Liouville, constante sur tout C. On consid`ere pour ce faire un disque
B ⊂ C centr´e en 0 qui contient l’int´erieur de γ, et suffisamment grand pour
qu’il existe un λ > 0 tel que pour tout z ∈ C − B, la distance d(z, γ) > λ.
Pour tout z ∈ C − B, on a alors que
|h(z)| = |h
1
(z)| ≤
1
λ
longueur(γ) max
γ
|f|,
o`u max
γ
|f| existe puisque |f | est une fonction continue sur le compact |γ|.
Mais puisque
lim
z→∞
|h(z)| ≤ lim
z→∞
1
d(z, γ)
longueur(γ) max
γ
|f| = 0,
il suit que h ≡ 0.
En posant g(z) = (z − a)f(z) pour a dans l’int´erieur de γ et en appliquant le
th´eor`eme `a la fonction g(z), on obtient que
Z
γ
f(z)dz = 0.
13
7 D´eveloppement en une s´erie de Laurent
Soit une fonction f qui poss`ede un pˆole d’ordre k au point a. On ne peut pas
d´evelopper f en a selon la m´ethode ci-dessus. En effet, celle-ci n´ecessite que f
soit holomorphe sur toute la partie hachur´ee de la figure 3. Mais on peut ramener
le probl`eme au cas connu en consid´erant la fonction g(z) = f(z) · (z − a)
i
, qui
est holomorphe en a.
Affirmation 9
f a au point a un pˆole d’ordre k ⇐⇒ f (z) =
∞
P
i=−k
c
i
·(z −a)
i
, avec c
−k
6= 0.
D´efinition 3
On appelle la partie de la somme
−1
P
i=−k
c
i
· (z − a)
i
la partie principale du
d´eveloppement de Laurent de f en a.
Si la partie principale est infinie, alors f poss`ede en a une singularit´e dite es-
sentielle. Par exemple, f(z) = sin(1/z) a en 0 une singularit´e essentielle.
Question : Est-ce que toutes les singularit´es sont soit des pˆoles, soit des
singularit´es essentielles, ou soit des singularit´es levables ?
Remarque 6 Un d´eveloppement de f au point a en une s´erie dont la partie
principale est nulle n’est pas possible si f a un pˆole ou une singularit´e essentielle
en a. Il faut refaire le raisonnement menant `a la formule de Cauchy : le fait
que la fonction n’existe pas en a g`ene la construction de la suite des rectangles
emboˆıt´es. On peut alors se demander si c’est cette “g`ene” que mesure la partie
principale.
A la suite de cette question, on peut consid´erer la fonction
g(z) =
1
2πi
·
Z
|ξ−a|=R
f(ξ) − f(z)
ξ − z
dξ.
Cette expression reste bien d´efinie mˆeme dans le cas o`u un pˆole g`ene la construc-
tion des rectangles emboˆıt´es; simplement, on a que g(z) 6= f(z).
Remarque 7 La fonction sin(1/z) a une singularit´e essentielle en 0. Mais
c’est la compos´ee d’une fonction holomorphe en 0 avec une fonction ayant un
pˆole simple en 0. Ces deux fonctions poss`edent chacune un d´eveloppement en
s´erie. Pour connaˆıtre le d´eveloppement en s´erie de sin(1/z) en 0, on peut donc
consid´erer la composition de ces deux s´eries (d´eveloppement en annexe dans le
classeur).
7.1 Etablissement des s´eries de Laurent
Affirmation 10 Es sei f holomorph im Kreisring K
a
(r, R). Dann gibt es eine
in U
1
= {|z − a| > r}holomorphe Funktion f
1
und eine in U
2
= D
R
(a) holo-
morphe Funktion f
2
, so dass auf K
a
(r, R) = U
1
∩ U
2
die Zerlegung
f = f
1
+ f
2
14
besteht. Dabei kann f
1
so gew
¨
ahlt werden, dass lim
z→∞
|f
1
(z)| = 0 gilt. Durch diese
Bedingung werden f
1
und f
2
eindeutig festgelegt.
Beweis: F
¨
ur jedes ρ mit r < ρ < R definieren wir auf D
ρ
(a) eine holomorphe
Funktion f
2,ρ
durch
f
2,ρ
(z) :=
1
2πi
Z
|ξ−a|=ρ
f(ξ)
ξ − z
dξ.
F
¨
ur r < ρ < ˜ρ < R gilt nach dem Cauchyschen Integralsatz f
2,ρ
(z) = f
2,˜ρ
(z)
auf D
ρ
(a). Also erhalten wir eine auf U
2
holomorphe Funktion f
2
, wenn wir f
¨
ur
z ∈ U
2
setzen
f
2
(z) :=
1
2πi
Z
|ξ−a|=ρ
f(ξ)
ξ − z
dξ,
wobei ρ nur der Ungleichung max{r, |z − a|} < ρ < R gen
¨
ugen muss. Ebenso
erhalten wir eine auf U
1
holomorphe Funktion f
1
durch
f
1
(z) :=
−1
2πi
Z
|ξ−a|=σ
f(ξ)
ξ − z
dξ,
wobei σ der Bedingung r < σ < min{R, |z − a|} unterworfen wird. Die Stan-
dardabsch
¨
atzung liefert lim
z→∞
|f
1
(z)| = 0. Ist nun z ∈ K
a
(r, R), so w
¨
ahlen wir ρ
und σ mit r < σ < |z −a| < ρ < R. Der Zyklus κ(ρ, a) −κ(σ, a) ist nullhomolog
in K
a
(r, R), die Cauchysche Integralformel liefert
f(z) =
1
2πi
Z
κ(ρ,a)
f(ξ) dξ
ξ − z
−
1
2πi
Z
κ(σ,a)
f(ξ) dξ
ξ − z
= f
1
(z) + f
2
(z).
Es bleibt die Eindeutigkeitsaussage zu zeigen. Ist f = g
1
+ g
2
eine analoge
Zerlegung mit lim
z→∞
|g
1
(z)| = 0, so gilt f
1
− g
1
= g
2
− f
2
auf U
1
∩ U
2
. Durch
h = f
1
− g
1
auf U
1
, h = g
2
− f
2
auf U
2
ist daher eine ganze Funktion h mit
lim
z→∞
|h(z)| = 0 gegeben. Nach dem Satz von Liouville ist h ≡ 0, also f
1
= g
1
und f
2
= g
2
.
f
1
heisst der Hauptteil und f
2
der Nebenteil von f. Der Nebenteil l
¨
asst sich in
eine auf U
2
konvergente Potenzreihe entwickeln. Um eine
¨
ahnliche Entwicklung
f
¨
ur den Hauptteil f
1
von f herzuleiten, benutzen wir die Abbildung
F : w 7→ a +
1
w
,
die D
1/r
(0) −{0} biholomorph auf C −
D
r
(a) abbildet. Die Funktion f
1
◦F ist
also holomorph auf D
1/r
(0)−{0}. Aus lim
z→∞
|f
1
(z)| = 0 folgt lim
w→0
|f
1
◦F (w)| = 0,
daher kann f
1
◦F durch den Wert 0 im Nullpunkt holomorph auf ganz D
1/r
(0)
fortgesetzt werden. Man hat somit eine Taylor Entwicklung
f
1
◦ F (w) =
∞
X
ν=1
b
ν
w
ν
,
15
die f
¨
ur jedes ρ > r auf D
1/ρ
(0) gleichm
¨
assig konvergiert. Setzt man w = (z−a)
−1
ein, so erh
¨
alt man hieraus die Reihendarstellung
f
1
(z) =
∞
X
ν=1
b
ν
(z − a)
−ν
,
die f
¨
ur jedes ρ > r auf
D
1/ρ
(0) gleichm
¨
assig konvergiert. Mit der Festsetzung
a
−>nu
= b
ν
f
¨
ur ν ≥ 1, schreiben wir als
f
1
(z) =
−∞
X
ν=−1
a
ν
(z − a)
ν
.
Affirmation 11 Es sei f holomorph auf K
a
(r, R). Dann besteht dort eine
Darstellung
f(z) =
−∞
X
ν=−1
a
ν
(z − a)
ν
+
∞
X
ν=0
a
ν
(z − a)
ν
.
Die erste Reihe konvergiert auf C −
D
r
(a) lokal gleichm
¨
assig gegen den Haupt-
teil, die zweite auf D
R
(a) lokal gleichm
¨
assig gegen den NebenTeil von f. Die
Koeffizienten a
ν
werden dabei f
¨
ur alle n ∈ Z durch
a
ν
=
1
2πi
Z
κ(ρ,a)
f(ξ) dξ
(ξ − a)
n+1
mit r < ρ < R gegeben.
Es ist noch die Formel f
¨
ur die a
n
zu beweisen. Man k
¨
onnte sie aus der Inte-
gralformel f
¨
ur die Koeffizienten der Taylor-Entwicklung von f
2
bzw. von f
1
◦F
erhalten. Wir wollen sie jedoch direkt aus der Reihenentwicklung ableiten: F
¨
ur
r < ρ < R und n ∈ Z konvergiert
(z − a)
−n−1
f(z) =
−∞
X
ν=−1
a
ν+n+1
(z − a)
ν
+
∞
X
ν=0
a
ν+n+1
(z − a)
ν
auf κ(ρ, a) gleichm
¨
assig. Gliedweise Integration liefert
Z
κ(ρ,a)
(z − a)
−n−1
f(z) dz = a
n
Z
κ(ρ,a)
dz
z − a
= 2πia
n
.
Remarque 8 On peut croiser la somme et l’int´egrale dans l’expression sui-
vante :
Z
γ
2
∞
X
i=0
f(ζ)
(ζ − a)
i+1
(z − a)
i
|
{z }
=:g
i
(ζ)
dζ =
Z
γ
2
∞
X
i=0
g
i
(ζ)dζ =
Z
γ
2
lim
N→∞
N
X
i=0
g
i
(ζ)
|
{z }
=:G
N
(ζ)
dζ =
16
=
Z
γ
2
lim
N→∞
G
N
(ζ)dζ = lim
N→∞
Z
γ
2
G
N
(ζ)dζ , car
Z
γ
2
lim
N→∞
G
N
− lim
N→∞
Z
γ
2
G
N
(∗)
= lim
N→∞
Z
γ
2
G −
Z
γ
2
G
N
< lim
N→∞
Z
γ
2
|G−G
N
| < long(γ
2
)·ε.
La convergence uniforme est utilis´ee (seulement) pour la derni`ere in´egalit´e. Le
passage (∗) est dˆu `a ce que
Const − lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
(Const − x
n
), et | lim
n→∞
y
n
| = lim
n→∞
|y
n
|.
Ci-dessus, c’est
R
γ
2
G
N
qui joue le rˆole du x
N
, et Const =
R
γ
2
lim
N→∞
G
N
.
17
