Ce qu’est une solution, son existence et son unicité

On recherche une fonction réelle \(x~:t\mapsto x(t)\) dont on connaît la variation en tout point \(t\) ainsi que la valeur en un point \(t_0\).

Ce problème est connu sous le nom¹ de problème de Cauchy : On recherche une fonction \(x\) telle que \[ \left\{ \begin{array}{l} x'\left(t\right)=f\left(x\left(t\right),t\right), \\ x\left(t_0\right)=x_0.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(\mathrm{condition\ initiale}\right) \end{array} \right. \] L’expression \(f\left(x\left(t\right),t\right)\) est mise pour une quelconque expression faisant intervenir \(t\) et \(x\), \(t\) étant variable et \(x\) étant une expression inconnue et dépendant de \(t\). Cette expression peut être par exemple \(-{x\left(t\right)}^2+t\). La fonction \(f\) prend donc comme arguments un nombre \(t\) et une fonction \(x(t)\). Quand il est dit qu’on connaît la variation de \(x\) en tout point \(t\), de quelle connaissance s’agit-il exactement ? Eh bien, c’est de la connaissance de la fonction \(f\) dont il s’agit. Dans le problème de Cauchy, celle-ci est donnée et on cherche la fonction \(x\).

L’expression \(f\left(x\left(t\right),t\right)\) dans la première équation se laisse en effet interpréter comme la variation de la fonction recherchée \(x\) au point \(t\) et cette interprétation permet de dessiner le graphe de la fonction \(x\) de la façon suivante.

On part d’un point connu du graphe – disons \((t_0;x_0)\) – et on trouve une bonne approximation du point du graphe \((t_0+\mathrm{\Delta }t;{x(t}_0+\mathrm{\Delta }t))\) situé horizontalement un tout petit peu plus loin, à un pas \(\mathrm{\Delta }t\) de \(t_0\), en utilisant l’information sur la variation de \(x\) en \(t_0\), que fournit l’expression \(f\left(x\left(t_0\right),t_0\right)\). Celle-ci est en effet la pente de la tangente de la fonction inconnue \(x\) au point \(t_0\). En traçant la droite de même pente passant par \((t_0;x_0)\) et en avançant sur cette droite d’un pas horizontal \(\mathrm{\Delta }t\), on arrive à une bonne approximation du point \((t_1;{x(t}_1))\), avec \(t_1:= t_0+\mathrm{\Delta }t\), approximation qu’on nomme \((t_1;{\hat{x}}_1)\).

Cette façon de procéder est fondée sur l’hypothèse que la variation de \(x\) est à peu près constante dans un voisinage autour de \(t_0\). Ceci assure que le point \((t_1;{\hat{x}}_1)\) est une bonne approximation du point \(\left(t_1;x_1\right)\), où \(x_1:= {x(t}_1)\), le circonflexe sur le \(x\) signifiant que le point obtenu n’est qu’une approximation du «vrai» point recherché.

On recommence la manoeuvre en utilisant le point \((t_1;{\hat{x}}_1)\) et la pente \(f\left(x\left(t_1\right),t_1\right)\). On obtient le point \((t_2;{\hat{x}}_2)\) qui est une approximation du point \((t_2;x_2)\). Et ainsi de suite. En reliant les \((t_n;{\hat{x}}_n)\) par une ligne polygonale, on obtient une approximation du graphe de \(x\).

Lorsque le pas est choisi grand, comme le dessin ci-dessus le montre, la ligne polygonale peut différer fortement du graphe de \(x\). Ceci s’explique par le fait que sur un intervalle de la longueur du pas \(\mathrm{\Delta }t\), il devient d’autant plus faux de supposer que la variation de \(x\) demeure constante, à mesure que le pas est choisi plus grand. Il s’agit donc d’une méthode approximative dont la précision dépend de la petitesse du pas \(\mathrm{\Delta }t\) choisi. Cette méthode est connue en analyse numérique sous le nom de méthode d’Euler.

La convergence de la solution approchée vers la solution exacte à mesure que le pas de \(t\) est choisi plus proche de 0 est assurée par une condition que \(f\) doit satisfaire : ladite condition de Lipschitz, sur laquelle nous revenons en annexe.

Pour le moment, il suffit de savoir que cette condition est une inégalité qui définit un cône² qui contient la droite tangente donnant la variation exacte en chaque point \(t\) (cône dessiné ci-dessus pour \({t=t}_0\)). Ce cône nous montre qu’il ne peut y avoir au plus qu’une seule fonction \(x\) qui satisfasse simultanément aux deux équations du problème de Cauchy, le graphe de \(x\) étant, par ce cône, déterminé pas par pas en avançant sur l’axe des \(t\) et en partant de \({t=t}_0\). Cette façon de résoudre le problème de la détermination de \(x\) est une approximation d’inspiration géométrique.

Nous voyons maintenant une façon purement analytique d’y arriver.

Intégrons de chaque côté de l’équation : \[ \begin{array}{ll} & x'\left(s\right)=f\left(x\left(s\right),s\right) \\ \Longleftrightarrow \ \exists \ c\in \mathbb{R}\mathrm{\ }\mathrm{t.q.} & \ \int^t_{t_0}{x'\left(s\right)\ ds}=c+\int^t_{t_0}{f\left(x\left(s\right),s\right)\ ds} \\ \Leftarrow & x\left(t\right)-x(t_0)=\int^t_{t_0}{f\left(x\left(s\right),s\right)\ ds.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)} \end{array} \]

On passe à la dernière équation en choisissant que la constante \(c\) soit nulle. Dans cette dernière équation, on observe que la fonction \(x\) se retrouve de chaque côté de l’égalité, ce que nous n’avions pas avant l’intégration. Ce fait remarquable nous permet de déterminer \(x\) comme la limite d’une suite de la façon suivante.

Ecrivons \({\varphi (z):= x}_0+\int^t_{t_0}{f\left(z\left(s\right),s\right)\ ds}\)

puis définissons par récurrence une suite de la façon suivante :

• point d’ancrage : \(x_0\) est donné
• enchaînement \(n\to n+1\) : \(x_{n+1}:= \varphi \left(x_n\right).\)

Nous remarquons que si cette suite converge, alors sa limite satisfait à \((*)\). Pour le voir, il nous suffit de remplacer dans l’équation \(x_{n+1}:= \varphi \left(x_n\right)\)

\(x_{n+1}\) et \(x_n\) par \(x\), de façon à obtenir l’équation \(x=\varphi \left(x\right).\)

Pour une suite \({\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\) convergente, on a en effet que \(x_n=x_{n+1}=x\) lorsque \(n\) tend vers l’infini. Or écrire que \(x=\varphi(x)\) signifie que la fonction \(\varphi\) admette un point fixe³. A contrario si \(\varphi\) admet un point fixe, alors l’équation \((*)\) admet une solution. Or par le théorème du point fixe de Banach, nous savons que si un point fixe existe, celui-ci est unique. Nous en déduisons que si l’équation \((*)\) admet une solution, celle-ci est unique. Ceci est un premier résultat théorique important.

Exemple de résolution d’équation différentielle ordinaire (EDO) à l’aide de cette méthode itérative.

\[ \left\{ \begin{array}{l} x'\left(t\right)=5\ x(t), \\ x\left(2\right)=1.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(\mathrm{condition\ initiale}\right) \end{array} \right. \]

Ici, \(t_0=2.\) \(x_0:= \boldsymbol{1}\)

\[ \begin{eqnarray*} x_1 &:=& x_0+\int^t_{t_0}{f\left(x_0\left(s\right),s\right)ds=1+\int^t_2{5\cdot 1\ ds=\boldsymbol{1}\boldsymbol{+}\boldsymbol{5}\boldsymbol{(}\boldsymbol{t}\boldsymbol{-}\boldsymbol{2}\boldsymbol{)}}} \end{eqnarray*} \]

\[ \begin{eqnarray*} x_2 &:=& x_0+\int^t_{t_0}{f\left(x_1\left(s\right),s\right)ds=1+\int^t_2{\underbrace{5\cdot \left(1+5\left(s-2\right)\right)}_{\underbrace{=5+5^2s-5^22}_{=-45+25\ s}}ds}} \\ &=& 1+{\left[-45s\right]}^{s=t}_{s=2}+{\left[25\frac{s^2}{2}\right]}^{s=t}_{s=2} \\ &=& 1+\left(-45t+90\right)+\left(25\frac{t^2}{2}-50\right)=\frac{\boldsymbol{25}}{\boldsymbol{2}}{\boldsymbol{t}}^{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{-}\boldsymbol{45}\boldsymbol{t}\boldsymbol{+}\boldsymbol{41} \end{eqnarray*} \]

\[ \begin{eqnarray*} x_3 &:=& x_0+\int^t_{t_0}{f\left(x_2\left(s\right),s\right)ds=1+\int^t_2{5\cdot \left(\frac{25}{2}t^2-45t+41\right)\ ds}} \\ &=& \frac{\boldsymbol{125}}{\boldsymbol{6}}{\boldsymbol{t}}^{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{-}\frac{\boldsymbol{225}}{\boldsymbol{2}}{\boldsymbol{t}}^{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{+}\boldsymbol{205}\boldsymbol{t}\boldsymbol{-}\frac{\boldsymbol{377}}{\boldsymbol{3}} \end{eqnarray*} \]

Cette méthode est fastidieuse mais elle a l’immense mérite de fonctionner dans tous les cas où une solution existe. La série diverge en cas d’absence de solution et converge sinon.

Cette méthode itérative permet de démontrer un résultat tout à fait fondamental qui nous informe notamment sur sa vitesse de convergence. La solution du problème de Cauchy suivant

\[ \left\{ \begin{array}{l} x'\left(t\right)=a\ x(t), \\ x\left(t_0\right)=x_0.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(\mathrm{condition\ initiale}\right) \end{array} \right. \]

est \[ \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{t}\right)\boldsymbol{=}{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{0}}\boldsymbol{\mathrm{\cdot }}\boldsymbol{\mathrm{exp}}\boldsymbol{(}\boldsymbol{a}\boldsymbol{(}\boldsymbol{t}\boldsymbol{-}{\boldsymbol{t}}_{\boldsymbol{0}}\boldsymbol{))}. \]

En effet, par un calcul en tout point semblable au précédent, on retrouve le développement en série de l’exponentielle (il est bon de faire ce petit calcul soi-même)

\[ x_0\cdot \left(1+a\left(t-t_0\right)+\frac{{\left(a(t-t_0)\right)}^2}{2!}+\frac{{\left(a(t-t_0)\right)}^3}{3!}+\cdots \right). \]

Ceci est un deuxième résultat théorique important : l’entrée en jeu de la fonction exponentielle⁴ !

La méthode de la séparation des variables

Heureusement on peut parfois avoir recours à des méthodes de résolution plus immédiates. Voici la méthode dite de séparation des variables.

Considérons

\[ \left\{ \begin{array}{l} x'\left(t\right)=-{x\left(t\right)}^2\cdot t, \\ x\left(11\right)=12.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(\mathrm{condition\ initiale}\right) \end{array} \right. \]

Ici \(f\left(x\left(t\right),t\right)\) est le produit d’une expression qui ne contient que \(x(t)\) et d’une expression qui ne contient que \(t\). On dit que les variables (\(x\) et \(t\)) sont séparées et on parle d’équation (EDO) aux variables séparées. Voici comment on procède dans ce cas particulier.

Nous rappelons que «\(x'\left(t\right)\)» est la notation de Newton pour ce que Leibniz note «\(\frac{dx}{dt}\)», cette dernière notation ayant ses avantages, dont celui de permettre le calcul non rigoureux⁵ suivant.

\[ \begin{array}{rl} & \frac{dx}{dt}=-x^2\cdot t \\ \Leftrightarrow & \frac{dx}{-x^2}=t\ dt \\ \Rightarrow & \int^X_{x_0}{\frac{dx}{-x^2}}=\int^T_{t_0}{t\ dt} \end{array} \]

Soit \(Q\left(X\right):= \int^X_{x_0}{\frac{dx}{-x^2}}\) la primitive de \(a\left(X\right):= \frac{1}{-X^2}\) qui s’annule en \(x_0\) et soit \(P\left(T\right):= \int^T_{t_0}{t\ dt}\) la primitive de \(b\left(T\right):= T\) qui s’annule en \(t_0\). Nous reécrivons donc la dernière équation du calcul ci-dessus comme \(Q\left(X\right)=P(T)\). Si la fonction \(Q\) est inversible dans un voisinage de \(x_0\), nous affirmons que la solution recherchée est, sur ce voisinage, égale à \(X\ :T\mapsto Q^{-1}\circ P(T)\). A la place de \(T\) et \(X\), nous noterons par la suite \(t\) et \(x\).

\(Q\left(z\right):= \frac{1}{z}-\frac{1}{x_0}\) est la primitive de \(a\left(x\right):= \frac{1}{-x^2}\) qui s’annule en \(x_0\) et, pour tout \(x_0\neq 0\), une fonction inverse \(Q^{-1}\) est bien définie. Dans notre exemple, \(x_0:= x\left(t_0\right)=x(11)=12\) et \(Q^{-1}\left(y\right)={\left(y+\frac{1}{12}\right)}^{-1}\), fonction qui est définie sur tout \(]0;\infty [\) puisque \(Q\) y est strictement croissante. Quant à la seconde primitive, on a que \(P\left(t\right):= \frac{t^2}{2}-\frac{{11}^2}{2}\), puisque \(t_0=11\). Il en suit que la solution est

\[ x\left(t\right)={\left(\left(\frac{t^2}{2}-\frac{121}{2}\right)+\frac{1}{12}\right)}^{-1}={\left(\frac{t^2}{2}-\frac{725}{12}\right)}^{-1}. \]

On vérifie qu’en effet, \(x\left(11\right)=12\). Calculons la dérivée : \(x'\left(t\right)=\frac{-t}{{\left(\frac{t^2}{2}-\frac{725}{12}\right)}^2}\) est bel et bien égale à \(-{x\left(t\right)}^2\cdot t\), ce qui termine la vérification.

Autre exemple :

\[ \begin{array}{cc} x'\left(t\right)=-\frac{t}{x}. & \mathrm{\ (Une\ condition\ initiale\ }{\mathrm{n}}^{\mathrm{'}}\mathrm{est\ ici\ pas\ précisée)} \end{array} \]

\[ \frac{dx}{dt}=-\frac{t}{x}\Leftrightarrow x\ dx=-t\ dt\Leftrightarrow \frac{x^2}{2}=-\frac{t^2}{2}+C\Leftrightarrow x^2+t^2=2C. \]

De ce calcul, il vient que les courbes représentatives des solutions de cette EDO dans l’espace des phases sont les cercles⁶ centrés en l’origine et de rayon \(\sqrt{2C}\).

La méthode du facteur intégrant

Considérons l’EDO scalaire linéaire suivante :

\[ \left\{ \begin{array}{l} x'\left(t\right)=a(t)x(t)+b(t), \\ x\left(t_0\right)=x_0.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(\mathrm{condition\ initiale}\right) \end{array} \right. \]

Soient \(A(t)\) et \(B(t)\) les primitives de respectivement \(a(t)\) et \(b(t)\).

Notre but : exprimer \(x(t)\) par une expression ne contenant ni \(x\) ni aucune de ses dérivées.

Idée : écrire l’EDO comme

\[ x'\left(t\right)-a\left(t\right)x\left(t\right)=b(t) \]

et chercher à exprimer le membre de gauche comme \(F(x)\) avec \(F\) inversible. Dans ce cas, \(x\left(t\right)=F^{-1}\circ b(t)\). Et puisqu’il y a dans le membre de gauche à la fois \(x\) et \(x'\), il faut bien que \(F\) fasse intervenir une dérivation.

En nous inspirant de la règle de dérivation d’un produit, nous essayons de nous donner un \(F\).

Premier essai :

\[ F\left(x(t)\right):= {\left[A(t)x(t)\right]}'=A\left(t\right)x'\left(t\right)+a\left(t\right)x\left(t\right) \]

est formellement proche mais pas encore égal au membre de gauche de l’EDO. En fait, nous comprenons vite qu’il n’existe aucune fonction \(G(t)\) – dont nous dirons que la dérivée est \(g(t)\) – telle que

\[ {\left[G(t)x(t)\right]}'=G\left(t\right)x'\left(t\right)+g\left(t\right)x\left(t\right) \] soit égal à \(x'\left(t\right)-a\left(t\right)x(t)\).

Nous pouvons par contre chercher à résoudre l’EDO équivalente

\[ {m(t)x}'\left(t\right)-m\left(t\right)a\left(t\right)x\left(t\right)=m\left(t\right)b\left(t\right), \]

pour un \(m(t)\) adéquat (Nous avons multiplié les deux membres de l’EDO par un facteur \(m(t)\), d’où le nom de la méthode⁷). Nous nous demandons dès lors : Existe-t-il une fonction \(G(t)\) telle que

\[ G\left(t\right)x'\left(t\right)+g\left(t\right)x\left(t\right)=m\left(t\right)x'\left(t\right)-m\left(t\right)a\left(t\right)x\left(t\right)\ \ ? \]

Or nous constatons en regardant cette formule que \(G(t)\) doit être égal à \(m(t)\) et que \(g(t)\) doit être égal à \(--a(t)m(t)\). Dès lors notre question devient : Existe-t-il une fonction \(G(t)\) telle que sa dérivée soit égale à elle-même fois \(-a(t)\) ?

Nous répondons que oui : la fonction \(G(t)\) recherchée est évidemment \(\mathrm{exp}(-A(t))\).

En conséquence de quoi la fonction \(F\) est égale à

\[ F\ :\ x\mapsto \frac{{\left[G(t)x(t)\right]}'}{m(t)}=\frac{{\left[{\mathrm{exp} \left(-A\left(t\right)\right)\ }x(t)\right]}'}{\mathrm{exp}(-A(t))}. \]

Nous en calculons l’inverse : Nous posons

\[ y\left(t\right):= \frac{{\left[{\mathrm{exp} \left(-A\left(t\right)\right)\ }x(t)\right]}'}{\mathrm{exp}(-A(t))} \]

et voulons transformer \(y(t)\) pour obtenir à nouveau \(x(t)\). Nous commençons la transformation :

\[ \int^t_{t_0}{y\left(u\right)\cdot {\mathrm{exp} \left(-A\left(u\right)\right)\ }du}=P\left(t\right)-P\left(t_0\right), \]

où \(P(u)\) est la primitive de \(y\left(u\right)\cdot {\mathrm{exp} \left(-A\left(u\right)\right)\ }\). Nous ne pouvons poursuivre, faute d’information sur \(P\). Mais dans la mesure où nous appliquerons cette fonction inverse de \(F\) uniquement sur des \(y(u)\) satisfaisant⁸ à ce que

\[ y\left(u\right)=x'\left(u\right)-a\left(u\right)x(u), \] nous pouvons utiliser cette information pour déterminer \(P\).

Or la primitive de \((x'\left(t\right)-a\left(ut\right)x(t))\cdot {\mathrm{exp} \left(-A\left(t\right)\right)\ }\) est \(P\left(t\right)={\mathrm{exp} \left(-A\left(t\right)\right)\ }x(t)\). Sachant cela, nous pouvons achever la transformation :

\[ F^{-1}\ :y\mapsto \frac{1}{\mathrm{exp}(-A(t))}\left(P\left(t_0\right)+\int^t_{t_0}{y\left(u\right)\cdot {\mathrm{exp} \left(-A\left(u\right)\right)\ }du}\right), \]

cette fonction n’étant définie, répétons-le, que pour les \(y(t)\) satisfaisant à la condition \(y\left(u\right)=x'\left(u\right)-a\left(u\right)x(u)\). En appliquant \(F^{-1}\) à \(b(t)\), nous obtenons la formule intégrale recherchée :

\[ \begin{array}{ll} && x\left(t\right) \\ &=& F^{-1}(b\left(t\right)) \\ &=& \frac{1}{\exp(-A(t))}\left(P\left(t_0\right)+\int^t_{t_0}{b\left(u\right)\cdot {\mathrm{exp} \left(-A\left(u\right)\right)\ }du}\right) \\ &=& {\mathrm{exp} \left(A\left(t\right)\right)\ }{\mathrm{exp} \left(-A\left(t_0\right)\right)\ x(t_0)\ }+{\mathrm{exp} \left(A\left(t\right)\right)\ }\int^t_{t_0}{b\left(u\right)\cdot {\mathrm{exp} \left(-A\left(u\right)\right)\ }du}. \end{array} \]

\(x(t)\) se laisse ainsi exprimer par une formule intégrale qui ne dépend ni de \(x\) ni de \(x'\) et notre but est donc atteint.

Exemple :

\[ \left\{ \begin{array}{l} x'\left(t\right)=t^2x(t)+t, \\ x\left(1\right)=2.\ \end{array} \right. \]

L’application de la formule donne :

\[ x\left(t\right)={\mathrm{exp} \left(\frac{t^3}{3}\right)\ }\cdot {\mathrm{exp} \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot 2\ }+{\mathrm{exp} \left(\frac{t^3}{3}\right)\ }\cdot \int^t_{t_0}{{\mathrm{exp} \left(-\frac{u^3}{3}\right)\ }u\ du.} \]

Un certain nombre d’EDO linéaires ne reç}oivent pas de solution véritablement satisfaisante à l’aide de cette formule, l’intégrale n’admettant pas toujours de primitive élémentaire et devant être approchée par des méthodes numériques. Nous pouvons néanmoins tenter une autre voie en vue de fournir une solution proprement analytique à l’EDO.

La méthode de la variation de la constante (méthode de Lagrange)

Nous savons que la solution générale à l’EDO

\[ x'\left(t\right)=a\left(t\right)x(t) \]

est

\[ x\left(t\right)=x_0\cdot{\mathrm{exp} \left(A\left(t\right)\right),\ } \]

pour \(A\) une primitive de \(a\). Lorsque \(A\) s’annule en une valeur \(t_0\) de la variable \(t\), nous avons alors que \(x\left(t_0\right)=x_0\). Nous recherchons maintenant une solution à

\[ x'\left(t\right)=a\left(t\right)x\left(t\right)+b\left(t\right). \]

Quelle est la forme de la solution ? Nous cherchons à énoncer une hypothèse sur la forme de \(x(t)\) – une telle hypothèse s’appelle un Ansatz⁹. Nous savons que dans le cas où \(b(t)=0\) cet Ansatz doit correspondre à la forme donnée ci-dessus. L’Ansatz doit donc être proche de

\[ x\left(t\right)=x_0{\mathrm{exp} \left(A\left(t\right)\right)\ }. \]

Il ne reste pas beaucoup de possibilités, sinon celle de faire varier \(x_0\), qui était une constante, en fonction de \(t\). Notre Ansatz est donc de rendre variable ce qui était une constante. C’est pourquoi nous posons¹⁰

\[ x\left(t\right):= c(t){\mathrm{exp} \left(A\left(t\right)\right)\ } \]

et calculons. La dérivée

\[ x'\left(t\right)=c'\left(t\right){\mathrm{exp} \left(A\left(t\right)\right)+c\left(t\right)a\left(t\right){\mathrm{exp} \left(A\left(t\right)\right)\ }\ } \]

doit être égale à

\[ b\left(t\right)+a\left(t\right)x(t). \]

C’est le cas si et seulement si

\[ \begin{array}{cl} & c'\left(t\right){\mathrm{exp} \left(A\left(t\right)\right)\ }=b(t) \\ \Leftrightarrow & c'\left(t\right)=b\left(t\right)\exp(-A(t)) \\ \Leftarrow & c\left(t\right)=x_0+\int^t_{t_0}{b\left(u\right){\mathrm{exp} \left(-A\left(u\right)\right)\ }du.} \end{array} \]

Nous vérifions que \(c\left(t_0\right)=x_0\). Par suite, une solution de l’EDO \(x'\left(t\right)=a\left(t\right)x\left(t\right)+b\left(t\right)\) est donnée par

\[ x\left(t\right)=\left(x_0+\int^t_{t_0}{b\left(u\right){\mathrm{exp} \left(-A\left(u\right)\right)\ }du}\right){\mathrm{exp} \left(A\left(t\right)\right)\ }. \]

Cette solution satisfait à la condition initiale \(x\left(t_0\right)=x_0\).

Nous reconnaissons là l’expression de \(x(t)\) que nous venons d’obtenir par la méthode du facteur intégrant. C’est bien la même expression et non pas une forme analytique plus simple. Mais peut-il vraiment en être autrement, en l’absence d’information supplémentaire et ceci bien que le raisonnement qui mène au résultat soit complétement différent ?

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Exercices

1. \(\frac{dx}{dt}=\frac{t^2+x^2}{tx}\) Aide : poser \(u:= \frac{y}{x}\)

2. \(\frac{dx}{dt}=\frac{t+x}{t-x}\) Aide : la primitive de \(\frac{1}{1+t^2}\) est \({\mathrm{arctan} \left(t\right)\ }\).

3. \(\frac{dx}{dt}=t^3+x^3-tx\) Aide : c’est une équation de Bernoulli : on commence par diviser tous les termes de l’EDO par \(x^3\) et on continue en recherchant une substitution avantageuse.

4. \(\frac{dx}{dt}=\frac{x+tx^2}{x}\) Aide : facteur intégrant

Nous essayerons de nous souvenir des techniques de résolution pour chacune de ces EDO données en exercice afin de disposer d’un arsenal de techniques prêtes à servir. Chacune de ces EDO est en effet prototypique d’autant de classes d’EDO du premier ordre qui ont en commun leur technique de résolution.

Il est à noter que, par exemple, l’EDO suivante

\[ \frac{dx}{dt}={3x}^2+5x+3 \]

ne se laisse pas résoudre analytiquement. Il s’agit d’un exemple d’une équation dite de Riccati, de la forme générale

\[ \frac{dx}{dt}={ax}^2+bx+c. \]

Il est à noter également qu’au chapitre des équations de Riccati, il existe un certain nombre de formes générales qui toutes ont la dénomination d’équations de Riccati. Outre la forme donnée ci-dessus, on trouve :

\[ \begin{align*} \frac{dx}{dt} &=& {ax}^2+bt^m, \\ \frac{dx}{dt} &=& {ax}^2+bt+ct^2, \\ \frac{dx}{dt} &=& {at^px}^q+bt^m. \end{align*} \]

Il s’agit d’EDO du premier ordre difficiles voire impossibles à résoudre analytiquement.

Méthode de la variation des constantes (méthode de Lagrange)

Nous voulons maintenant résoudre l’EDO suivante et montrer à cette occasion comment adapter la méthode de la variation des constantes vue précédemment pour le cas d’une EDO d’ordre 1 à une EDO d’ordre 2 :

\[ \begin{array}{ccc} x''=a_1x'+a_0x+b & & \mathrm{,\ avec}\ b \end{array} \ \text{une constante réelle non nulle.} \]

Nous venons de traiter du cas homogène \(b=0\) et nous nous intéressons au cas général non forcément homogène. Contrairement au cas homogène et du fait de la présence du dernier terme, la fonction nulle ne peut être solution de cette EDO et par conséquent l’ensemble des solutions ne forme plus un espace vectoriel. Une telle équation s’appelle inhomogène.

Nous avons vu que la solution générale de l’équation homogène associée est

\[ c_1{\mathrm{exp} \left({\lambda }_1t\right)\ }+c_2\mathrm{\ exp}({\lambda }_2t), \]

avec \(c_1,c_2\) des constantes réelles et \({\lambda }_1\) et \({\lambda }_2\) les zéros du polynôme caractéristique¹⁹. En faisant un raisonnement analogue à celui proposé sous le même titre quelques pages plus haut, nous en arrivons à poser que (Ansatz)

\[ x\left(t\right):= c_1\left(t\right)\cdot {\mathrm{exp} \left({\lambda }_1t\right)\ }+c_2\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{\cdot }{\mathrm{exp} \left({\lambda }_2t\right)\ }. \]

Notre stratégie est de substituer dans l’EDO \(x(t)\) par l’Ansatz et d’utiliser le fait que \({\mathrm{exp} \left({\lambda }_1t\right)\ }\) et \({\mathrm{exp} \left({\lambda }_2t\right)\ }\) sont solutions de l’EDO homogène associée, c’est-à-dire que

\[ \begin{array}{cl} & {{{\lambda }_i}^2\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_it\right)\ }-a{{\lambda }_i\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_it\right)\ }-b{\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_it\right)=0\ }\ \\ \Leftrightarrow & \begin{array}{ccc} {{\lambda }_i}^2-a{\ \lambda }_i-b=0 & & \mathrm{,\ pour}\mathrm{\ }i=1,2. \end{array} \end{array} \]

Mais cela ne suffit pas et sans une hypothèse simplificatrice adéquate, les calculs ne donnent rien. Il faut en effet faire en sorte ne pas avoir de dérivée seconde pour les \(c_i\left(t\right)\), \(i=1,2\). C’est pourquoi nous exigeons que²⁰

\[ c'_1\cdot {\mathrm{exp} \left({\lambda }_1t\right)+\ }c'_2\cdot {\mathrm{exp} \left({\lambda }_2t\right)=0\ }. \]

De cette façon en effet, il est possible de déterminer des \(c_i\left(t\right)\) satisfaisants. Menons notre stratégie :

\[ \begin{array}{ccc} x'=\sum_i{{\lambda }_ic_i}{\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_it\right)\ }, & & x''=\sum_i{\left({{\lambda }_i}^2c_i+{\lambda }_ic'_i\right)}{\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_it\right)\ } \end{array} \]

Substitution dans l’EDO donne :

\[ \sum_i{\left({{\lambda }_i}^2c_i+{\lambda }_ic'_i\right)}{\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_it\right)\ }=a\left(\sum_i{{\lambda }_ic_i}{\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_it\right)\ }\right)+b\left(\sum_i{c_i}{\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_it\right)\ }\right)+c\] \[ \begin{array}{cc} \Leftrightarrow & c+ \end{array} \sum_i{{\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_it\right)\ }}\left({{-\lambda }_i}^2c_i-{\lambda }_ic'_i+a{\lambda }_ic_i+bc_i\right)=0. \]

Nous réarrangeons ensuite la parenthèse ci-dessus afin de faire usage du fait que \({{\lambda }_i}^2-a{\ \lambda }_i-b=0\) :

\[ {{-\lambda }_i}^2c_i-{\lambda }_ic'_i+a{\lambda }_ic_i+bc_i={-c_i\cdot {\lambda }_i}^2+\left(ac_i+c'_i\right)\cdot {\lambda }_i+bc_i\] \[=-c_i\underbrace{\left({{\lambda }_i}^2-a{\ \lambda }_i-b\right)}_{=0}-c'_i{\lambda }_i. \]

De là,

\[ \begin{array}{cl} & c+\sum_i{{\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_it\right)\ }}\left(-c'_i{\lambda }_i\right)=0 \\ \Leftrightarrow & \sum_i{{\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_it\right)\ }}c'_i{\lambda }_i=c. \end{array} \]

Nous recherchons donc \(c_1(t)\) et \(c_2(t)\) satisfaisant au système :

\[ \left\{ \begin{array}{lc} \sum_i{{\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_it\right)\ }}c'_i & =0 \\ \sum_i{{\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_it\right)\ }}c'_i{\lambda }_i & =c. \end{array} \right. \]

Matriciellement :

\[ \left( \begin{array}{rr} {\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_1t\right)\ } & {\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_2t\right)\ } \\ {\lambda }_1{\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_1t\right)\ } & {\lambda }_2{\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_2t\right)\ } \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} c'_1 \\ c'_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ c \end{array} \right). \]

La façon la plus expéditive de résoudre cette équation est l’emploi de la formule de Cramer :

\[ \begin{array}{ccc} c'_1(t)=\frac{\mathrm{det}\left( \begin{array}{rr} 0 & {\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_2t\right)\ } \\ c & {\lambda }_2{\mathrm{\ exp} \left({\lambda }_2t\right)\ } \end{array} \right)}{W} & \mathrm{,\ o\textrm{\`{u}}} & W:= {\mathrm{det} \left( \begin{array}{rr} {\ exp \left({\lambda }_1t\right)\ } & {\ exp \left({\lambda }_2t\right)\ } \\ {\lambda }_1{\ exp \left({\lambda }_1t\right)\ } & {\lambda }_2{\ exp \left({\lambda }_2t\right)\ } \end{array} \right)\ }. \end{array} \]

\(W\) est le déterminant de Wronski associé au système de solutions linéairement indépendantes \({\mathrm{exp} \left({\lambda }_1t\right)\ }\) et \({\mathrm{exp} \left({\lambda }_2t\right)\ }\). On a que

\[ W={\left({\lambda }_2-{\lambda }_1\right)\cdot exp \left(\left({\lambda }_1+{\lambda }_2\right)t\right)\ }. \]

En poursuivant le calcul,

\[ \begin{array}{ccc} c'_1(t)=\frac{\mathrm{-}\mathrm{c}\mathrm{\cdot }{exp \left({\lambda }_2t\right)\ }}{W} & \Leftarrow & c_1\left(t\right)=-c\int^t_0{\frac{{exp \left({\lambda }_2u\right)\ }}{W}} \end{array} \ du=\frac{c}{\left({\lambda }_2-{\lambda }_1\right){\lambda }_1}\left({\ exp \left({-\lambda }_1t\right)\ }-1\right). \]

Idem pour \(c_2\) :

\[ \begin{array}{ccc} c'_2(t)=\frac{\mathrm{det}\left( \begin{array}{rr} {\ exp \left({\lambda }_1t\right)\ } & 0 \\ {\lambda }_1{\ exp \left({\lambda }_1t\right)\ } & c \end{array} \right)}{W} & \Leftarrow & c_2\left(t\right)=\frac{-c}{\left({\lambda }_1+{\lambda }_2\right){\lambda }_2}\left({\ exp \left({-\lambda }_2t\right)\ }-1\right). \end{array} \]

On vérifie que

\[ x\left(t\right)=c_1\left(t\right)\cdot {\mathrm{exp} \left({\lambda }_1t\right)\ }+c_2\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{\cdot }{\mathrm{exp} \left({\lambda }_2t\right)\ } \]

est bien une solution particulière de l’EDO.

La méthode de la variation des constantes fonctionne pour toute EDO linéaire à coefficients constants. Il est à noter qu’il en existe une variante plus simple mais qui ne fournit une solution qu’à partir d’un système de solutions du système homogène associé. Cette méthode a l’avantage de fonctionner même si l’EDO linéaire n’est pas à coefficients constants. C’est la méthode telle que présentée dans la littérature introductive moderne et faisant usage de la notion de matrice résolvante.

A partir d’une solution particulière obtenue par cette méthode, toutes les autres solutions de l’EDO s’obtiennent en y additionnant une solution de l’EDO homogène associée. L’ensemble des solutions forme en effet un hyperplan.

Réduction au premier ordre

Nous pouvons ramener toute EDO d’ordre supérieur à une EDO du premier ordre. Nous en faisons la démonstration explicite pour le cas d’une EDO linéaire d’ordre 2, le cas général étant facile à induire.

Considérons à nouveau l’EDO

\[ x''=a_1x'+a_0x+b. \]

En posant

\[ \begin{array}{l} x_1:= x \\ x_2:= x'\ , \end{array} \]

nous pouvons exprimer l’EDO du second ordre ci-dessus comme un système de deux EDO du premier ordre :

\[ \left\{ \begin{array}{ll} x'_1=x_2 & \\ x'_2=a_1x_2+a_0x_1+b. & \end{array} \right. \]

En posant

\[ X:= \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right), \]

\[ B:= \left( \begin{array}{c} 0 \\ b \end{array} \right) \] et

\[ A:= \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ a_0 & a_1 \end{array} \right), \]

nous reécrivons ce système comme

\[ X'=AX+B. \]

L’étude des EDO scalaires d’ordre supérieur nous conduit donc à considérer les EDO vectorielles du premier ordre. Pour ces EDO, nous avons les mêmes résultats fondamentaux que ceux que nous avons obtenus précédemment dans le cas scalaire.

La méthode itérative présentée tout au début de ce cours fonctionne en effet comme dans le cas scalaire et c’est justement cette méthode qui permet d’obtenir les deux résultats fondamentaux que sont d’une part l’unicité de la solution et d’autre part la forme exponentielle de la solution générale d’une d’EDO linéaire homogène d’ordre 1. Nous démontrons ce dernier point :

Soit la suite définie par la relation récursive suivante (\(B\) est ici nul) :

\[ X_{n+1}\left(t\right)=X_0+\int^t_{t_0}{\left(A{\cdot X}_n\left(u\right)+B\right)\ du}=X_0+A\int^t_{t_0}{X_n\left(u\right)\ du}. \]

\[ \begin{eqnarray*} X_0 &=& \mathrm{constante}\ , \\ X_1 &=& X_0+A\int^t_{t_0}{X_0\ du}=X_0 &+& A{\cdot X}_0\left(t-t_0\right)\ , \\ X_2 &=& X_0+A\int^t_{t_0}{X_1\left(u\right)\ du} &=& X_0+A\cdot \left(X_0\left(t-t_0\right)+A\cdot X_0\frac{{\left(t-t_0\right)}^2}{2}\right) \\ && &=& X_0+{A\cdot X}_0\left(t-t_0\right)+A^2\cdot X_0\frac{{\left(t-t_0\right)}^2}{2} \\ \vdots \end{eqnarray*} \]

De ces calculs, nous induisons l’hypothèse suivante, que nous allons immédiatement nous attacher à prouver.

\[ X_n=\sum^n_{i=0}{A^i\cdot X_0\frac{{\left(t-t_0\right)}^i}{i!}} \]

Preuve (par récurrence) :

• Point d’ancrage : \(X_0=A^0\cdot X_0\frac{{\left(t-t_0\right)}^0}{0!}=X_0\)
• Pas de récurrence :

\[ \begin{array}{rl} X_{n+1}= & X_0+A\int^t_{t_0}{X_n\left(u\right)\ du}=X_0+A\int^t_{t_0}{\left(\sum^n_{i=0}{A^i\cdot X_0\frac{{\left(t-t_0\right)}^i}{i!}}\right)\ du} \\ = & X_0+A\sum^n_{i=0}{A^i\cdot X_0\int^t_{t_0}{\frac{{\left(u-t_0\right)}^i}{i!}}}\ du=X_0+\sum^n_{i=0}{A^{i+1}\cdot X_0}\frac{{\left(t-t_0\right)}^{i+1}}{\left(i+1\right)!} \\ = & X_0+\sum^{n+1}_{i=1}{A^i\cdot X_0}\frac{{\left(t-t_0\right)}^i}{i!}=\sum^{n+1}_{i=0}{A^i\cdot X_0}\frac{{\left(t-t_0\right)}^i}{i!} \end{array} \]

Finalement nous constatons que

\[ {\mathop{\mathrm{lim}}_{n\to \infty } \left(\sum^n_{i=0}{A^i\cdot X_0\frac{{\left(t-t_0\right)}^i}{i!}}\right)\ }=x_0\mathrm{\cdot }\mathrm{exp}(a(t-t_0)), \]

ce qui achève la démonstration du fait que la solution générale d’une d’EDO linéaire homogène d’ordre 1, vectorielle ou scalaire, est une exponentielle.

Exemple :

Soit

\[ \left\{\begin{array}{l} {X(t)}'=AX(t)+B \\ X\left(t_0\right)=X_0 \end{array} \right. \\ \]

\[ \text{avec } A:= \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right)\text{, } X_0:= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)\text{, } t_0:= 3 \text{ et } B:= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right). \]

\[ \begin{eqnarray*} X_0 &=& \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)\ , \\ X_1 &=& \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)+\int^t_3{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)\ du} \\ &=& \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} \int^t_3{3\ du} \\ \int^t_3{4\ du} \end{array} \right) \\ &=& \ \left( \begin{array}{c} 1+3(t-3) \\ 1+4(t-3) \end{array} \right) \\ &=& \left( \begin{array}{l} 3t-8 \\ 4t-11 \end{array} \right), \\ \\ X_2 &=& \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) +\int^t_3{ \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l} 3t-8 \\ 4t-11 \end{array} \right) \ du} \\ &=& \left( \begin{array}{l} \frac{11}{2}t^2-30t+\frac{83}{2} \\ \frac{9}{2}t^2-24t+\frac{65}{2} \end{array} \right) \ , \\ &\vdots& \end{eqnarray*} \]

Cette suite tend vers \(X_0\mathrm{\ exp}(A\cdot (t-t_0))\) puisqu’ici \(B=0\).

La prochaine grande question est celle du calcul efficace de l’exponentielle d’une matrice carrée. Sa résolution dépasse largement le cadre de cette introduction aux EDO. Nous donnons néanmoins la façon probablement la plus efficace de faire ce calcul : employer l’algorithme de Putzer.

Monsieur Putzer a en effet développé en 1966 un algorithme révolutionnaire qui n’exige que le calcul des valeurs propres, alors que les autres algorithmes exigent en outre de connaître les espaces propres. En particulier, l’algorithme révolutionnaire de Putzer permet d’éviter de devoir mettre la matrice sous la forme normale de Jordan. Bizarrement, cet algorithme est largement méconnu²¹.

Encore une fois la variation des constantes

Soit une base \(\left\{u_i(t)\right\}\) de l’espace des solutions de l’EDO linéaire homogène associée à l’EDO inhomogène à résoudre. La matrice \(\left(u_i\right)\) formée des vecteurs-colonne \(u_i\) est une matrice inversible que nous dénotons par \(U(t)\). C’est ce qu’on appelle une matrice fondamentale de l’EDO.

Que se passe-t-il si nous nous donnons une solution \(u(t)\) à notre EDO linéaire et que nous faisons varier la condition initiale \(x_0\) ? On observe alors que cette solution dépend linéairement de la condition initiale. Nous notons \(x\left(t,t_0,x_0\right)\) la solution de l’EDO qui satisfasse à la condition initiale \(x\left(t_0\right)=x_0\). La solution \(x\left(t,t_0,x_0\right)\) est un vecteur-colonne. Soit une autre solution \(x\left(t,t_0,y_0\right)\); il existe ainsi une matrice carrée \(R(y_0,x_0)\) telle que \(x\left(t,t_0,x_0\right)=R(y_0,x_0)\ x\left(t,t_0,y_0\right)\). On a logiquement que \(R\left(y_0,y_0\right)=Id\).

A la place d’une seule solution, on peut aussi considérer toute une matrice fondamentale, dont chaque colonne est une solution, et on a que \(U\left(s\right)=R(t,s)U\left(t\right)\), donc que \(U\left(s\right)U^{-1}\left(t\right)=R(t,s)\). On a de plus la transitivité \(R\left(t,s\right)R(s,r)=R(t,r)\). On en déduit que \({R(t,s)}^{-1}=R\left(s,t\right)\).

Variation des constantes : On se donne une matrice fondamentale \(U\) de l’EDO linéaire inhomogène dont on veut une solution particulière. L’EDO est du premier ordre, donc le problème de Cauchy est donné par

\[ \left\{ \begin{array}{l} x'\left(t\right)=a\left(t\right)x+b(t), \\ x\left(t_0\right)=x_0.\ \end{array} \right. \]

La solution de l’EDO homogène associée est \(R\left(t,t_0\right)x_0\). Nous faisons varier la constante \(x_0\) en la remplaçant par une fonction \(c(t)\). Nous posons ainsi que \(x\left(t\right)=R\left(t,t_0\right)c(t)\). De là, et puisque \(\frac{d}{dt}R\left(t,t_0\right)=a\left(t\right)R\left(t,t_0\right)\),

\[ x'\left(t\right)=\underbrace{a\left(t\right)R\left(t,t_0\right)}_{=\frac{d}{dt}R\left(t,t_0\right)}c\left(t\right)+R\left(t,t_0\right)c'\left(t\right). \]

L’EDO devient

\[ \begin{array}{cl} & \underbrace{R\left(t,t_0\right)\cdot \left(a\left(t\right)c\left(t\right)+c'\left(t\right)\right)}_{=x'\left(t\right)}=a\left(t\right)R\left(t,t_0\right)c\left(t\right)+b(t) \\ \Leftrightarrow & \frac{d}{dt}R\left(t,t_0\right)c'\left(t\right)=b(t) \end{array} \]

\[ \begin{array}{cl} & \underbrace{R\left(t,t_0\right)\cdot \left(a\left(t\right)c\left(t\right)+c'\left(t\right)\right)}_{=x'\left(t\right)}=a\left(t\right)R\left(t,t_0\right)c\left(t\right)+b(t) \\ \Leftrightarrow & R\left(t,t_0\right)c'\left(t\right)=b(t) \\ \Leftrightarrow & c'\left(t\right)=\underbrace{R\left(t_0,t\right)}_{=R^{-1}\left(t,t_0\right)}b\left(t\right), \end{array} \]

et donc \(c\left(t\right)=\int^t_{t_0}{R\left(t_0,s\right)}b\left(s\right)ds\).

De là,

\[ x\left(t\right)=R\left(t,t_0\right)c\left(t\right)=\int^t_{t_0}{R\left(t,t_0\right)R\left(t_0,s\right)}b\left(s\right)ds=\int^t_{t_0}{R\left(t,s\right)}b\left(s\right)ds. \]

Ce raisonnement est en tout point analogue à celui présenté en début de cours.

---

La méthode de la variation des constantes donne donc \[ x\left(t\right)=\int^t_{t_0}{R\left(t,s\right)B\left(s\right)\ ds} \]

comme la solution générale de l’EDO linéaire inhomogène vectorielle \(x'=A\left(t\right)x+B(t)\) d’ordre 1. Dans le cas important d’une EDO linéaire scalaire d’ordre 2 de la forme

\[ x''=a_1x'+a_0x+b, \]

nous recherchons une formule pour une solution particulière. Pour cela, nous commençons par exprimer cette EDO scalaire d’ordre 2 comme une EDO vectorielle d’ordre 1. Puisque \(R\left(t,s\right)=U\left(t\right)U^{-1}\left(s\right)\), nous calculons ensuite \(U^{-1}\) et remarquons que, pour

\[ U\left(t\right)=\left( \begin{array}{cc} u_1(t) & u_2(t) \\ u_1'(t) & u_2'(t) \end{array} \right), \]

l’inverse \(U^{-1}\) est égal à

\[ \frac{1}{W(t)}\left( \begin{array}{cc} u_2'(t) & {-u}_2(t) \\ {-u}_1'(t) & u_1(t) \end{array} \right), \]

où \(W(t)\) est le déterminant de Wronski de \(U\), appelé également wronskien. Un calcul montre que

\[ U\left(t\right)U^{-1}\left(s\right)B\left(s\right)=\frac{1}{W\left(s\right)}\left(u_1\left(s\right)u_2\left(t\right)-u_1(t)u_2(s)\right)\cdot b\left(s\right). \]

La formule recherchée est donc

\[ x\left(t\right)=\int^t_{t_0}{\frac{1}{W\left(s\right)}\left(u_1\left(s\right)u_2\left(t\right)-u_1(t)u_2(s)\right)\cdot b\left(s\right)\ ds}. \]

Le calcul du wronskien \(W\) ne nécessite pas même de connaître de matrice fondamentale. Dans le cas d’une EDO d’ordre 2 en effet,

\[ W\left(t\right)=W\left(t_0\right){\mathrm{exp} \left(-\int^t_{t_0}{a_1\left(s\right)\ ds}\right)\ }. \]

Nous obtenons cette formule en résolvant l’EDO

\[ W'\left(t\right)=a_1\left(t\right)W\left(t\right), \]

elle-même obtenue en dérivant

\[ {W\left(t\right)=\mathrm{det} \left( \begin{array}{cc} u_1(t) & u_2(t) \\ u_1'(t) & u_2'(t) \end{array} \right)\ }=u_1\left(t\right)u'_2\left(t\right)-u'_1\left(t\right)u_2\left(t\right), \]

ce qui donne

\[ {\mathrm{det} \left( \begin{array}{cc} u_1(t) & u_2(t) \\ u_1''(t) & u_2''(t) \end{array} \right)\ }, \]

puis en exploitant le fait que les \(u_i(t)\), \(i=1,2\), soient solutions de l’EDO homogène et donc que

\[ {u_i}''=a_1{u_i}'+a_0u_i. \]

Cela donne

\[ {\mathrm{det} \left( \begin{array}{cc} u_1 & u_2 \\ a_1{u_1}'+a_0u_1 & a_1{u_2}'+a_0u_2 \end{array} \right)\ }={\mathrm{det} \left( \begin{array}{cc} u_1 & u_2 \\ a_1{u_1}' & a_1{u_2}' \end{array} \right)\ }={a_1\mathrm{\cdot }\mathrm{det} \left( \begin{array}{cc} u_1 & u_2 \\ {u_1}' & {u_2}' \end{array} \right)\ }. \]

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Il reste à considérer quelques EDO du premier ordre qui ne sont pas linéaires. Parmi celles-ci, l’équation de Riccati vaut le détour historique : Comment poser cette équation ? Comment la résoudre ? Plus généralement, l’histoire de la résolution graphique des EDO vaut son pesant d’or car les plus grands du XVIIIe siècle s’y sont attelés : Huygens, Leibniz, les frères Jean et Jacques Bernoulli, Euler, Riccati père et fils, Poleni. A cette époque en effet, résoudre une EDO signifiait en tracer la courbe représentative, idéalement à l’aide de la règle et du compas, puis à l’aide de courbes spéciales appelées tractrices, à propos desquelles Vicenzo Riccati (le fils) montrera que toute EDO (parmi celles connues à l’époque) se laisse dessiner de façon non approchée mais exacte à l’aide de tractrices (1752)²².

Enfin, nous serons avisés de nous intéresser à ce qui est probablement la plus importante EDO linéaire homogène du deuxième ordre à coefficients non constants, la fameuse équation de Bessel²³. Cette EDO décrit nombre de phénomènes ayant trait à la propagation des ondes : vibration d’une membrane dont le bord est un cercle, propagation des ondes électromagnétiques dans un câble, des ondes sonores dans un tuyau d’orgue, etc. La technique de sa résolution est particulièrement instructive²⁴, faisant appel aux séries entières (fonctions holomorphes).