Convergence (localement) compacte et interversion
des limites
R´esum´e
Soit (f
n
) une suite de fonctions sur D. Une fonction est alors toujours d´efinie
par f(x) := lim
n→∞
f
n
(x). Cette fonction limite f est continue en x
0
si et
seulement si
lim
x→x
0
lim
n→∞
f
n
(x) = lim
n→∞
lim
x→x
0
f
n
(x).
On peut se poser la question de savoir si les propri´et´es des f
n
comme la conti-
nuit´e, l’int´egrabilit´e et la d´erivabilit´e, se transmettent `a f. Dans ce cas, comment
calculer l’int´egrale et la d´eriv´ee de f `a partir des int´egrales et des d´eriv´ees des
f
n
? On peut d´ej`a r´epondre qu’en ce qui concerne la continuit´e, cette propri´et´e
se transmet `a f si et seulement si on peut intervertir les limites.
Affirmation 1 Une s´erie normalement convergente sur D y converge aussi
uniform´ement.
A pr´esent, voici ce qu’on peut dire quant aux possibilit´es d’interversion des
limites.
Affirmation 2 La limite f d’une suite f
n
de fonctions continues sur D qui
converge uniform´ement sur D est continue sur D.
Affirmation 3 La limite f d’une suite de fonctions r´egl´ees sur [a, b] qui converge
uniform´ement sur [a, b] est aussi une fonction r´egl´ee, et
Z
b
a
f(x)dx = lim
n→∞
Z
b
a
f
n
(x)dx.
Affirmation 4 Soit une suite (f
n
) de fonctions continˆument diff´erentiables sur
un intervalle I. Ces fonctions satisfont `a :
- (f
n
) converge point par point sur I,
- (f
0
n
) converge uniform´ement sur I.
Dans ce cas, la fonction limite f est diff´erentiable avec ∀x ∈ I
f
0
(x) = lim
n→∞
f
0
n
(x).
Ces th´eor`emes sont ´egalement valables pour la convergence localement uni-
forme. Voici quelques crit`eres de convergence uniforme :
1
Affirmation 5 (Dirichlet) Soient f
n
des fonctions `a valeurs r´eelles sur D et
a
n
des fonctions `a valeurs complexes sur D. Elles satisfont `a :
- ∀x ∈ D, la suite de points (f
n
(x)) est monotone d´ecroissante,
- (f
n
) converge uniform´ement sur D vers 0,
- il existe une borne M ∈ R avec k
P
n
k=1
a
k
k
D
≤ M, ∀n.
Dans ce cas, la s´erie
P
∞
k=1
a
k
f
k
converge uniform´ement sur D.
Par exemple, la s´erie
∞
P
k=1
e
ikx
k
=: f(x) converge uniform´ement sur chaque inter-
valle [δ, 2π − δ] avec 0 < δ < π. Il faut poser f
k
= 1/k et a
k
(x) = e
ikx
. Puis il
faut montrer que |
n
P
k=1
e
ikx
|=|
e
inx
−1
e
ix
−1
|< ∞.
Cependant la partie imaginaire de la s´erie ci-dessus, i.e.
∞
P
k=1
sin kx
k
, converge point
par p oint sur [0, 2π], mais pas uniform´ement. Sinon elle aurait une fonction li-
mite continue. Voir p. 331 de Analysis 1.
Affirmation 6 (Abel) Soient f
n
des fonctions `a valeurs r´eelles sur D et a
n
des fonctions `a valeurs complexes sur D. Elles satisfont `a :
- ∀x ∈ D, la suite de points (f
n
(x)) est monotone d´ecroissante,
-
P
∞
k=1
a
n
converge uniform´ement sur D,
- il existe une borne M ∈ R avec kf
n
k
D
≤ M, ∀n.
Dans ce cas, la s´erie
P
∞
k=1
a
k
f
k
converge uniform´ement sur D.
Affirmation 7 (th´eor`eme de la limite d’Abel) Si la s´erie de puissances
P
∞
0
c
n
x
n
converge pour x = R > 0, alors elle converge uniform´ement sur
[0, R] et sa limite est continue.
Un r´esultat essentiel est celui de Weierstrass : on peut d´eriver une s´erie de
puissances terme `a terme. Il faut montrer que
• Une s´erie de puissances converge normalement `a l’int´erieur de son disque
de convergence,
• Une s´erie qui converge normalement converge absolument et localement
uniform´ement,
• Toute s´erie de fonctions qui converge uniform´ement sur une partie D s’y
laisse d´eriver terme `a terme. Il suffit de voir que
¯
¯
¯
¯
¯
R
γ
f
n
−
R
γ
lim
n→∞
f
n
¯
¯
¯
¯
¯
≤
L(γ) · ε, pour |f
n
− lim
n→∞
f
n
| < ε.
2
