Alg`ebre et G´eom´etrie I
Aide-m´emoire
Table des mati`eres
1 Groupes 1
1.1 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Groupes-quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Alg`ebres 5
2.1 alg`ebre-quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 sous-alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 l’alg`ebre tensorielle d’un espace vectoriel V . . . . . . . . . . . . 9
2.5 les alg`ebres de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.1 commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 les alg`ebres ext´erieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1 Groupes
D´efinition 1 (mono¨ıde) Un mono¨ıde est un ensemble G muni d’une op´eration
binaire G × G −→ G associative, ainsi que d’un ´el´ement neutre.
Exemple 1 N est un mono¨ıde pour l’addition.
D´efinition 2 (groupe) Un groupe est un mono¨ıde muni d’une op´eration unaire
(inverse). L’inverse est le mˆeme `a gauche et `a droite, i.e. la multiplication avec
l’inverse commute.
D´efinition 3 (homomorphisme) Soient G et H des groupes. Un homomor-
phisme f : G −→ H est une application telle que f(x · y) = f(x) · f(y).
Affirmation 1 Pour un homomorphisme surjectif, on a
• f(e
G
) = e
H
• f(x
−1
) = f(x)
−1
Remarquons que la surjectivit´e ne sert que pour passer
du membre de droite `a celui de gauche.
D´efinition 4 (isomorphisme) Un homomorphisme est un isomorphisme s’il
est injectif et si la fonction inverse est aussi un homomorphisme.
1
D´efinition 5 Un endomorphisme est un homomorphisme d’un ensemble dans
lui-mˆeme.
Un automorphisme est un endomorphisme qui est un isomorphisme.
Affirmation 2 Un homomorphisme bijectif est un isomorphisme.
Affirmation 3 Un homomorphisme f est injectif ⇔ kerf = e.
1.1 Sous-groupes
Un sous-groupe S de G est un groupe avec la propri´et´e que S ⊂ G et que la
structure de groupe de S s’obtienne en restreignant celle de G, de mani`ere entre
autres que e
S
= e
G
.
Affirmation 4 Nous avons les crit`eres suivants :
• Une partie non vide S d’un groupe est un sous-groupe si et seulement si
a, b ∈ S =⇒ a
−1
b ∈ S.
• Une partie finie non vide S d’un groupe est un sous-groupe si et seulement
si a, b ∈ S =⇒ ab ∈ S.
L’intersection de sous groupes S
1
et S
2
S
1
T
S
2
= {x; x ∈ S
1
, x ∈ S
2
} est
encore un sous-groupe.
D´efinition 6 Soit E une partie du groupe G. Le plus petit sous-groupe de G
qui contient E est appel´e le sous-groupe de G engendr´e par E. Si ce plus petit
sous-groupe de G engendr´e par E est G lui-mˆeme, on dit alors que E engendre
G. Dans ce cas :
Si E est fini, alors on dit que G est un groupe de type fini. Si de plus E
consiste en un unique ´el´ement, alors on dit que G est un groupe monog`ene
(cyclique).
Affirmation 5 Soit un homomorphisme f : G −→ H entre deux groupes.
Soient g un sous-groupe de G et h un sous-groupe de H. Alors f (g) est un
sous-groupe de H, etf
−1
(h) est un sous-groupe de G.
Cas particuliers :
• L’image imf := f(G) est un sous-groupe de H.
• kerf est un sous-groupe de G.
1.2 Groupes-quotients
Soit un ensemble E et une relation d’´equivalence d´efinie sur E. L’ensemble
des classes d’´equivalence de E pour cette relation d’´equivalence est appel´e
l’ensemble-quotient de E.
D´efinition 7 Une relation d’´equivalence est une relation de congruence si
le produit [x] · [y] := [x · y] est bien d´efini, i.e. ne d´epend pas des repr´esentants.
2
Si E est un groupe et si la relation est une relation de congruence, alors
l’ensemble-quotient est un groupe, appel´e le groupe-quotient de E pour cette
relation de congruence.
Soit un groupe G. Soit la relation x ∼ y :⇔ x
−1
y ∈ N, pour N une partie
du groupe G. Comment doit ˆetre N pour que cette relation soit une relation de
congruence ?
Il faut d’abord savoir comment N doit ˆetre pour que la relation d´efinie plus
haut soit une relation d’´equivalence. La relation donn´ee plus haut est :
• sym´etrique ssi x
−1
y ∈ N ⇐ y
−1
x ∈ N . En ´ecrivant a := x
−1
y, on a
en effet que la relation est sym´etrique ssi
a ∈ N ⇔ a
−1
∈ N
⇔ tout ´el.
de N poss`ede un inverse (cette derni`ere ´equivalence est vraie puisque on
peut repr´esenter tout a ∈ N comme a = x
−1
y pour des x, y ∈ G).
• r´eflexive ssi x
−1
x = e
G
∈ N.
• transitive ssi x
−1
y ∈ N et y
−1
z ∈ N ⇒ x
−1
z ∈ N. En ´ecrivant a :=
x
−1
y et b := y
−1
z, on a que la relation est transitive ssi a, b ∈ N ⇒ ab ∈ N
(on voit que ab = x
−1
z). C’est-`a-dire que N est clos pour la multiplication.
Donc, N est un sous-groupe de G si et seulement si la relation donn´ee plus haut
est une relation d’´equivalence.
La multiplication sur l’ensemble-quotient de G donn´ee par [x] · [y] = [x · y] est
bien d´efinie
1
, si et seulement si N satisfait `a la condition suivante :
∀x
1
, x
2
∈ [x] et ∀y
1
, y
2
∈ [y], x
1
y
1
∼ x
2
y
2
⇔ y
−1
1
x
−1
1
x
2
y
2
∈ N
⇔ [y]
−1
·[x]
−1
· [x]
| {z }
⊂N
·[y] ⊂ N ⇔ ∀c ∈ N et ∀y ∈ G, y
−1
· c · y ∈ N
Quant `a la derni`ere ´equivalence : ’⇒’ : C’est un cas particulier.
’⇐’ : (y
−1
1
·x
−1
1
·x
2
·y
1
)·(y
−1
1
·y
2
) ∈ N, puisque les deux parenth`eses sont dans N .
On appelle un pareil sous-groupe un sous-groupe normal.
Affirmation 6 Si N est un sous-groupe normal du groupe G, alors la rela-
tion x ∼ y :⇔ x
−1
y ∈ N est une relation de congruence, et la multiplication
[x] · [y] := [x · y] est bien d´efinie sur l’ensemble-quotient E de G. Cet ensemble-
quotient est alors un groupe, appel´e le groupe-quotient de G pour la relation de
congruence. C’est le groupe G modulo N, not´e G/N .
L’application p : G −→ G/N, x 7→ [x], qui est appel´ee la projection cano-
nique (de G sur G/N), est alors un homomorphisme.
Affirmation 7 Soit un homomorphisme entre deux groupes f : G −→ H. Alors
kerf est un sous-groupe normal de G. De plus : si G est un groupe commutatif,
alors tous ses sous-groupes sont normaux.
1
Il y a lieu de remarquer que [x] · [y] := {xy; x ∈ [x], y ∈ [y]} est bien d´efini, mais comme
un ensemble quelconque. La question est de montrer que cet ensemble est bien la classe [xy].
C’est pourquoi je peux ´ecrire [x][y] sans probl`eme.
3
Remarque 1 Il n’est pas besoin de demander que l’homomorphisme f : G −→
H soit surjectif. En effet, bien qu’on utilise la relation f (x
−1
) = f(x)
−1
, on
ne l’utilise que du membre de gauche `a celui de droite, et non pas le contraire.
C’est en effet seulement dans le cas o`u on affirme que l’inverse de f(x) est lui
aussi l’image d’un ´el´ement de G (`a savoir l’´el´ement x
−1
∈ G) qu’on utilise la
surjectivit´e de f.
La preuve de l’affirmation est la suivante : soit x ∈ G et y ∈ N = kerp. Alors
x
−1
yx ∈ N car f(x
−1
yx) = f(x
−1
)f(y)f (x) = f(x)
−1
ef(x) = e.
Affirmation 8 Le groupe-quotient consiste des classes
[a] = {x ∈ G; a
−1
x ∈ N
| {z }
⇔x∈aN
} = aN.
Affirmation 9 Soit G un groupe. Tout groupe-quotient Q de G est de la forme
G/N pour un sous-groupe normal N de G. Choisir N = kerp.
Affirmation 10 (la propri´et´e universelle des groupes-quotients) Soient
les groupes G et H et N un sous-groupe normal de G. Soient ensuite p :
G −→ G/N ainsi qu’un homomorphisme f : G −→ H avec f(N) = {e
H
},
i.e. N = kerf. Alors il existe un unique homomorphisme g := G/N −→ H,
g([x]) := f(x).
Preuve : Il faut montrer que g est bien d´efinie. Il faut donc montrer que
[x] = [y] =⇒ f(x) = f(y). En effet, [x] = [y] ⇔ y
−1
x ∈ kerf ⇔ f(y)
−1
f(x) =
e ⇔ f(x) = f(y).
g est un homomorphisme, car g([x][y]) := f(xy) = f(x)f (y) =: g([x])g([y]).
Cette propri´et´e universelle signifie que, bien que p soit un hom. de ker ´egal `a
N construit artificiellement, p n’est pas restreint d’une mani`ere ou d’une autre
puisqu’on peut obtenir tout autre hom. f de mˆeme ker en prolongeant p. Il est
de mani`ere g´en´erale important que nos constructions nous permettent de tout
construire.
Affirmation 11 (Emmi Noether) Mˆeme donn´ee que pr´ec´edemment. Si en
plus f est surjectif, alors g est bijectif, i.e. g est un isomorphisme.
Preuve : g est ´evidemment surjectif (En g´en´eral vaut : si a ◦ b est surjectif,
alors aussi a.). Pour son injectivit´e : Il faut montrer que ker g ne contient
qu’un unique ´el´ement. On sait que les classes d’´equivalence sont de la forme
[x] := {y ∈ G; x
−1
y ∈ N} = {y ∈ G; y ∈ xN} = xN. De l`a, [e] = N est
l’´el´ement neutre de G/N. Puisque f est surjective, on sait que f (e
G
) = e
H
.
Mais par construction, l’ensemble ker f est une seule et mˆeme classe, i.e. un seul
et unique ´el´ement de G/ker f. On a que ker g = [e] = ker f, ´el´ement unique.
Il est maintenant facile de montrer l’injectivit´e de g : g([x]) = g([y]) =⇒ e
H
=
g([x])g([y])
−1
= f(x)f(y)
−1
= f(xy
−1
) =⇒ xy
−1
∈ ker f =⇒ [x] = [y].
1.3 Produits
D´efinition 8 On d´efinit une structure de groupe sur le produit cart´esien de
deux groupes G
1
× G
2
en posant (x
1
, x
2
) · (y
1
, y
2
) := (x
1
y
1
, x
2
y
2
). On appelle ce
nouveau groupe le produit direct de G
1
et G
2
.
4
2 Alg`ebres
D´efinition 9 (alg`ebre) Une alg`ebre est un espace vectoriel V muni d’une
op´eration bilin´eaire V × V −→ V .
Une K-alg`ebre est une alg`ebre telle que, en plus, l’op´eration bilin´eaire est as-
sociative et admet un ´el´ement neutre. K indique alors le corps sur lequel est
l’espace vectoriel.
Remarque 2 Cette op´eration bilin´eaire est une multiplication. En tant que
telle, elle est distributive par rapport `a l’addition (vectorielle). Dans la suite,
toute multiplication est suppos´ee distributive par rapport `a l’addition.
On peut ˆetre pr´ecis et vouloir aussi d´efinir un espace vectoriel.
D´efinition 10 (espace vectoriel sur un corps K) Soit un groupe commu-
tatif additif G. Soit un corps K. Alors G est un espace vectoriel sur le corps K
si G est muni d’une application ext´erieure K × G −→ G, (λ, v) 7→ λ · v qui
est :
• distributive (`a gauche) par rapport `a l’addition de G
• telle que λ(µ · v) = (λµ) · v
• telle que 1 · v = v.
Une cons´equence importante est que 0 · v = 0 (vecteur nul).
D´efinition 11 (anneau) Un anneau est un groupe additif A commutatif muni
d’une application binaire A × A −→ A (´evidemment distributive par rapport `a
l’addition de A) associative et admettant un ´el´ement neutre.
Une K-alg`ebre est donc aussi un anneau. Mais pas une alg`ebre en g´en´eral.
D´efinition 12 (corps) Un anneau A est un corps si chaque ´el´ement `a l’exception
de l’´el´ement neutre de l’addition 0 poss`ede un inverse.
2.1 alg`ebre-quotient
Nous consid´erons l’espace vectoriel V comme un groupe additif. En tant que
tel, nous pouvons le quotienter. La relation d’´equivalence est dans le cas d’un
groupe additif v ∼ w :⇔ v − w ∈ S, pour un sous-groupe S de V . Puisque V
est commutatif, tous ses sous-groupes sont des sous-groupes normaux, et il en
suit que l’ensemble quotient est un groupe-quotient. Comme en plus, on a
• [λ · v] = λ · v + S = λ · (v + S) = λ · [v],
Les classes d’´equivalence sont en effet de la forme [v] = v +S, et λ·S = S.
• [v] + [w] = [v + w],
le groupe-quotient est un espace vectoriel (cf. d´efinition d’un espace vectoriel).
C’est l’espace-quotient de V pour la relation de congruence donn´ee.
5
Remarque 3 Ci-dessus, j’ai consid´er´e l’espace vectoriel V comme un groupe
additif, que j’ai quotient´e par un sous-groupe additif S. N´eanmoins, n’importe
quel sous-groupe S n’est pas automatiquement un sous-espace vectoriel de V .
Prendre en exemple le groupe engendr´e par un vecteur quelconque v ∈ V :
il s’agit du sous-groupe additif {0, v, v + v, · · ·} = vZ. Ce n’est pas un espace
vectoriel sur un corps K ⊃ Z.
On peut d’ailleurs se poser la question suivante. Soit G le groupe additif et soit
K le corps de la multiplication ext´erieure d’un espace vectoriel. Est-ce possible
d’avoir un espace vectoriel construit ainsi : K ⊂ Z et il existe une injection
Z → G, i.e. G a au moins autant d’´el´ements que Z ? Et si en plus, G se laisse
engendrer par un seul - ou bien un nombre fini - d’´el´ements, i.e. si le groupe
additif G est de type fini ?
Le probl`eme serait alors : la multiplication de v ∈ G avec un scalaire dans K ne
d´ecrirait plus comme cas particulier la multiplication d´ecrivant la composition
de la fonction “+v” appliqu´ee `a v, multiplication d´efinie ainsi :
p · v := v + v + · · · + v
|
{z }
p fois
,
avec p ∈ Z. Si G est un ensemble de cardinalit´e infinie et que le groupe G est
de type fini, alors le corps K doit contenir Z.
D´efinition 13 (id´eal bilat`ere) Un id´eal bilat`ere sert `a cr´eer une seconde re-
lation de congruence, mais cette fois pour la structure d’alg`ebre sur l’espace-
quotient. Comment doit-ˆetre un sous-espace I de V pour que la multiplication
[v] · [w] = [v · w] soit bien d´efinie, et que l’espace-quotient soit `a son tour une
alg`ebre ?
On doit avoir que (v ∼ x et w ∼ y) =⇒ v · w ∼ x · y.
Autrement ´ecrit : (v − x ∈ I et w − y ∈ I) =⇒ v · w − x · y ∈ I. Cependant, il
est difficile de d´eduire de cette condition la forme que doit avoir le sous-espace
I. Nous avons meilleur temps d’essayer de bien d´efinir une multiplication de
classes en consid´erant ces classes comme un tout et non pas en essayant de
donner les propri´et´es que chacun de leurs ´el´ements doit avoir.
On sait que chaque classe est de la forme [v] = v + I. On d´etermine I pour que
la multiplication de classes soit bien d´efinie :
[v] · [w] = (v + I) · (w + I)
!
= (v · w) + I = [v · w].
Or (v +I)·(w +I) = v ·w +v ·I +I ·w +I ·I = (v ·w)+I ⇔ v ·I +I ·w+I ·I = I.
On comprend alors qu’il faut exiger du sous-espace I que
(a ∈ V et b ∈ I) =⇒ (a · b ∈ I et b · a ∈ I) .
On appelle un tel sous-espace I de V un id´eal bilat`ere.
L’alg`ebre modulo cet id´eal est appel´ee alg`ebre-quotient.
D´efinition 14 (homomorphisme d’alg`ebres) Soient A et B deux alg`ebres.
Une application lin´eaire f : A → B est un homomorphisme d’alg`ebres si
f(x · y) = f(x) · f(y) et si f(e
A
) = e
B
.
6
Remarque 4 En d´efinissant un homomorphisme d’alg`ebres f : A → B, on
demande que f (e
A
) = e
B
, chose qu’on n’a pas faite pour d´efinir un homomor-
phisme de groupes. La raison en est que la multiplication d’alg`ebres n’a pas
forc´ement d’inverse, alors que l’op´eration de groupe a forc´ement une inverse.
2.2 sous-alg`ebre
D´efinition 15 (sous-alg`ebre) Soit A
V
une alg`ebre et V son espace vectoriel
sous-jacent. Un sous-espace W de V est l’espace sous-jacent d’une sous-alg`ebre
A
W
si la projection canonique p : A
V
→ A
W
est un homomorphisme.
On d´efinit justement la multiplication dans A
W
(i.e. la multiplication sur W )
ainsi : x · y := p(x · y), x et y appartenant en mˆeme temps `a V et `a W . dans le
membre de gauche de la d´efinition, x et y appartiennent `a W et dans celui de
droite, `a V .
Affirmation 12 B est une sous-alg`ebre de l’alg`ebre A si et seulement si B est
stable pour la multiplication, et contient l’´el´ement neutre.
Exemple 2 Les matrices de la forme (avec a, b ∈ K)
a b
−b a
sont stables pour la multiplication et forment donc une sous-alg`ebre de l’alg`ebre
K(2, 2). L’´el´ement neutre est la matrice unit´e.
2.3 produit tensoriel
D´efinition 16 (produit tensoriel) Soient V et W deux espaces vectoriels
sur le mˆeme corps K, et soient (a
1
, · · · , a
n
) et (b
1
, · · · , b
m
) leurs bases respec-
tives. Alors le produit tensoriel V
N
K
W des deux espaces est donn´e par une
application bilin´eaire d´efinie sur les vecteurs de base τ(a
i
, b
j
) = a
i
⊗ b
j
.
Remarque 5 Il est inutile de connaˆıtre une formule explicite pour cette appli-
cation, puisque seule compte sa propri´et´e de bilin´earit´e.
Remarque 6 Il serait faux de penser que V
N
K
W est l’ensemble des v ⊗ w.
Car V
N
K
W est seulement engendr´e par les ´el´ements v ⊗ w. Un ´el´ement de
V
N
K
W est en effet de la forme
P
i,j
X
i,j
a
i
⊗ b
j
; les X
i,j
ont i · j degr´es
de libert´e. En revanche, les ´el´ements de l’ensemble τ(V × W ) sont de la forme
P
i
P
j
λ
i
µ
j
a
i
⊗ b
j
et n’ont que i + j − 1 degr´es de libert´e. En effet : soient
v =
P
i
λ
i
a
i
et w =
P
j
µ
j
b
j
. Sans restriction `a la g´en´eralit´e, on pose λ
1
= 1.
Puis
P
i,j
X
i,j
a
i
⊗ b
j
=
P
i
P
j
λ
i
µ
j
a
i
⊗ b
j
. De l`a, X
1,j
= µ
j
. Mais pour
d´eterminer les X
2,j
, on a un probl`eme. Les µ
j
sont d´ej`a fix´es. De l`a, les X
2,j
doivent ˆetre de la forme X
2,j
= λ
2
X
1,j
, ce qui est restrictif.
Affirmation 13 (la propri´et´e universelle du produit tensoriel) Soient V
et W sur K. L’application bilin´eaire τ a la propri´et´e suivante. Pour tout espace
vectoriel U sur K et toute application bilin´eaire ϕ : W × W → U, il existe une
7
unique application lin´eaire f : V
N
K
W → U telle que le diagramme
V × W V
N
K
W
U
τ
ϕ f
est commutatif (i.e. que f(v ⊗ w) = ϕ(v, w)).
Il suffit en effet de montrer que f est bien d´efinie sur un ensemble de g´en´erateurs
- sur τ(V × W ) - de V
N
K
W , i.e. que
v ⊗ w = v
0
⊗ w
0
=⇒ ϕ(v, w) = ϕ(v
0
, w
0
).
Or la condition `a poser sur deux couples (v, w) et (v
0
, w
0
) pour que v ⊗ w =
v
0
⊗ w
0
et celle `a poser pour que ϕ(v, w) = ϕ(v
0
, w
0
) est la mˆeme, `a savoir que
(λv, µw) = (νv
0
, ξw
0
) pour λµ = νξ (penser au cas simple o`u µ = ν = 1).
On peut se demander si l’existence de f : V
N
K
W → U va de paire avec
l’existence d’une application lin´eaire U → V
N
K
W . Il y a en effet une sym´etrie
dans l’argument apport´e ci-dessus. Supposons que la dimension de l’espace U
est plus petite que celle de V × W . Puis penser au cas U = V × W .
Voici cependant la preuve de l’existence et de l’unicit´e de f : Selon le
th´eor`eme qui affirme qu’une application lin´eaire est enti`erment d´etermin´ee par
sa donn´ee sur les vecteurs de base, on donne ainsi par f(a
i
⊗ b
j
) := ϕ(a
i
, b
j
)
une application unique est existante. Quant `a l’affirmation 13, elle n’est pas
retournable. Elle se base en effet sur le fait que V × W et V
N
K
W sont de
mˆeme dimension, puisque les a
i
⊗ b
j
engendrent V
N
K
W .
Remarque 7 Pour d´efinir une application lin´eaire f : V
N
K
W → U, il suffit
de donner les valeurs de f sur les ´el´ements v ⊗ w et de v´erifier que l’application
ϕ : V × W → U, donn´ee par ϕ(v, w) = f(v ⊗ w) pour tout (v, w) ∈ V × W , est
bilin´eaire.
Cette propri´et´e universelle d´etermine le produit tensoriel `a isomorphismes pr`es.
De l`a, le produit tensoriel ainsi d´efini par τ ne d´epend pas du choix des bases,
`a isomorphismes pr`es. On peut donc d´efinir le produit tensoriel entre V et W
comme espace vectoriel E muni d’une application bilin´eaire τ : V × W → E
satisfaisant la propri´et´e universelle.
Affirmation 14
• Le produit tensoriel est commutatif `a isomorphismes pr`es :
V
N
K
W
∼
=
W
N
K
V ,
On le montre en appliquant la propri´et´e universelle avec U = W
N
K
V ,
et en l’appliquant encore une fois avec U = V
N
K
W . En appelant la
fonction lin´eaire “f” associ´ee `a la premi`ere utilisation de la propri´et´e
universelle par f et celle associ´ee `a la seconde utilisation par g, on a que
f ◦ g = id. f est donc un isomorphisme et la commutativit´e est v´erifi´ee.
8
• Le produit tensoriel est associatif `a isomorphismes pr`es :
(V
N
K
W )
N
K
Z
∼
=
V
N
K
(W
N
K
Z),
• Il est ´egalement distributif `a isomorphismes pr`es par rapport `a la somme
directe d’espaces vectoriels.
Quelle est la diff´erence entre le produit cart´esien et la somme directe ?
Affirmation 15 G´en´eralisons la notion de produit tensoriel `a plusieurs es-
paces.
V
1
× · · · × V
n
V
1
N
K
· · ·
N
K
V
n
U
τ
ϕ f
D´efinition 17 (cas particulier) On appelle V
N
K
· · ·
N
K
V la n
`eme
puis-
sance tensorielle V
⊗n
de V .
Par convention, V
⊗1
:= V et V
⊗0
:= K.
Les ´el´ements de V
⊗n
sont appel´es tenseurs d’ordre n.
2.4 l’alg`ebre tensorielle d’un espace vectoriel V
On d´efinit V
N
:=
∞
L
i=0
V
N
i
. Il faut v´erifier que cette expression est bien d´efinie.
Dans ce cas, cela revient `a s’assurer qu’on peut parler de sommes directes. On
ne peut faire de somme qu’entre deux (ou plusieurs) sous-espaces vectoriels U
1
et U
2
d’un seul et mˆeme espace vectoriel V . La somme est dite directe si les
sous-espaces n’ont que l’´el´ement neutre en commun. Dans ce cas, un vecteur
de V admet au plus une et une seule d´ecomposition en somme u
1
+ u
2
avec
u
1
∈ U
1
et u
2
∈ U
2
.
Soit (a
1
, . . . , a
n
) une base de V . On ´ecrit les ´el´ements de V
N
par (λ,
P
i
µ
i
a
i
,
P
i,j
µ
i,j
a
i
⊗ a
j
, . . .).
Il est vrai que les V
N
i
sont des espaces vectoriels. Cependant il n’ont pas les
mˆemes ´el´ements neutres. D`es lors il ne peuvent ˆetre somm´es en somme directe.
Sauf si l’on identifie x ∈ V
N
i
`a (0, . . . , 0, x, 0, . . .), o`u le x est en i
`eme
position.
Alors l’´el´ement neutre (0, 0, 0, . . .) devient commun `a tous les V
N
i
, ∀i.
En munissant V
N
de la multiplication bilin´eaire donn´ee par (x, y) 7→ x ⊗ y,
pour x ∈ V
N
i
et y ∈ V
N
j
, on fait de V
N
une alg`ebre.
Remarque 8 C’est une alg`ebre Z-gradu´ee, puisqu’elle est de la forme A =
L
i∈Z
A
i
, pour A
i
des sous-espaces de l’espace sous-jacent de A, et munie d’une
multiplication telle que pour deux ´el´ements, de A
i
et de A
j
, leur multiplication
est un ´el´ement de A
i+j
.
9
2.5 les alg`ebres de Clifford
Remarque 9 Il faut savoir comment on obtient une alg`ebre-quotient. On consid`ere
l’alg`ebre gradu´ee donn´ee par l’espace vectoriel X engendr´e par 1, x, x
2
, x
3
, etc,
et muni de la multiplication de polynˆomes habituelle. On cherche l’id´eal I qui
est engendr´e par une expression, par exemple 1 + x
2
si l’on veut identifier −1
et x
2
(i.e. [−1] = [x
2
] :⇔ x
2
+ 1 ∈ I, ce qui est le cas par le choix de I.).
Puisque un id´eal est d’abord un sous-espace vectoriel, on se demande comment
1 + x
2
peut en engendrer un. De plusieurs mani`eres. Mais puisque un id´eal doit
´egalement ˆetre tel que
(a ∈ X et b ∈ I) =⇒ (a · b ∈ I et b · a ∈ I) ,
il faut que cet id´eal soit I = X · (1 + x
2
).
Il s’agit ensuite de trouver un ensemble M dans X tel que l’application M →
X/I; v 7→ [v] soit injective. On pourrait ainsi identifier v `a [v]. Supposi-
tion : un tel M doit ˆetre un sous-espace U de X tel que chaque ´el´ement de
X puisse s’´ecrire comme somme directe de U et de l’id´eal. Un tel U peut ˆetre
le compl´ement orthogonal de l’id´eal. Il faut alors introduire un produit sca-
laire. Montrer que pour tout produit scalaire, le compl´ement orthogonal et l’id´eal
d´ecomposent X en une somme directe.
Dans l’exemple, il est plus simple de comprendre que l’id´eal est l’ensemble de
tous les polynˆomes de degr´e 2 au moins. On voit que X est somme directe de
cet id´eal avec le sous-espace des polynˆomes de degr´es inf´erieur `a 2.
C est l’espace V = R
2
muni d’une multiplication de vecteurs qui en fait une
alg`ebre. On souhaite donner `a tout R
n
une telle structure d’alg`ebre. On de-
mande que cette multiplication soit telle que v
2
= |v|
2
, comme c’est le cas pour
C.
D´efinition 18 (les alg`ebres de Clifford) Soit R
n
sur le corps K. L’alg`ebre
de Clifford de R
n
, not´ee Cl
n
, est l’alg`ebre tensorielle de R
n
, quotient´ee par
l’id´eal I engendr´e par |v|
2
+ v ⊗ v, i.e. I = R
n
⊗
⊗ (|v|
2
+ v ⊗ v).
On veut ainsi identifier v ⊗ v `a −|v|
2
.
Exemple 3
R
⊗
est engendr´ee par 1, e, e⊗e, e⊗e⊗e,. . . Puisque e⊗e = −1,
Cl
1
est engendr´ee par [1] et [e]. Ci-contre, le tableau de mul-
tiplication. L’isomorphisme avec C est ´evident.
Remarquons que C est une alg`ebre de division, puisque chaque
´el´ement - `a l’exception de l’´el´ement neutre de l’addition - ad-
met un ´el´ement inverse pour la multiplication. L’inverse dans C est donn´e par
z 7→ z/|z|
2
.
Remarque 10 Pour v´erifier que l’alg`ebre C satisfait bien `a v · v = −|v|
2
, il
faut se rappeler que cette condition a ´et´e donn´ee sur l’espace vectoriel R non
encore muni d’une structure d’alg`ebre, qu’il s’est justement agi de d´efinir par
cette mˆeme condition. Donc la norme est la norme euclidienne sur R et non pas
la norme hermitienne sur C. Avec cette derni`ere norme, la relation v ·v = −|v|
2
ne se v´erifie ´evidemment pas.
10
2.5.1 commentaires
Soit V = R
n
. Dans la construction d’une alg`ebre de Clifford, on veut iden-
tifier v ∈ V `a sa classe [v]. Comme le compl´ement U (i.e. le sous-espace
U tel que V
⊗
= I
L
U) contient les ´el´ements de la forme λ + v, il n’y a
´evidemment pas d’injection V → V
⊗
/I; v 7→ [λ + v]. (L’injection est par
contre K
L
V → V
⊗
/I; λ + v 7→ [λ + v].) Mais comme I est un sous-groupe
normal, V
⊗
/I vu comme espace-quotient est un groupe additif, et on a que
[λ + v] = [λ] + [v]. On peut ainsi poser que V
⊗
/I = [K]
L
[V ] =: A
L
B. De l`a,
l’application restreinte V → B; v 7→ [λ + v] est injective (et λ est ici constant).
On comprend ainsi que V ⊂ Cl
n
.
Je veux maintenant poser le probl`eme suivant. Soit un espace vectoriel X quo-
tient´e par l’id´eal I. J’ai dit plus haut que je cherchais un ensemble M ⊂ X tel
que ∀v ∈ M, v 7→ [v] est injective. J’ai affirm´e que cet ensemble M doit ˆetre un
sous-espace de X tel que X = I
L
M. Est-ce bien vrai ? Nous consid´erons Cl
n
.
Est-ce que pour le compl´ement U de I (I consiste de tous les tenseurs d’ordre
2 au moins. Attention car en tant que sous-espace, I doit aussi contenir 0 !),
on a que X = I
L
U ? Et est-ce que U 3 v 7→ X/I est injective ? Non, car
pour U 3 w 6= 0, on a que ∀v ∈ X, v − w ∈ I ⇒ v − 0 ∈ I. De l`a, [0] = [w].
Autrement dit, [0] ⊂ [w] et les classes ne sont pas disjointes.
D’autre part nous savons que pour que la relation w ∼ w :⇔ w − v ∈ I soit une
relation de congruence, il faut et suffit que I soit un sous-groupe normal de X,
ce qui est le cas puisque nous consid´erons X comme groupe additif. Alors o`u se
cache l’erreur de raisonnement ?
2.6 les alg`ebres ext´erieures
D´efinition 19 La i
`eme
puissance ext´erieure de V est la i
`eme
puissance
tensorielle de V quotient´ee par l’id´eal consistant de tous les tenseurs v
1
, · · · ⊗ v
i
de V
⊗i
ayant au moins deux v
j
identiques, j = 1, . . . , i.
On la note
V
n
V .
D´efinition 20 L’alg`ebre ext´erieure de V , not´ee
V
V , est la somme directe
des puissances ext´erieures de V et munie de la multiplication telle que pour
x ∈
V
i
V et y ∈
V
j
V , on a que x · y ∈
V
i+j
V .
Il est important de consid´erer le cas particulier
V
R
3
. Dans cette alg`ebre, le
produit ext´erieur v ∧ w est isomorphe au produit vectoriel (voir Alg`ebre
lin´eaire 2, de Serge Lang).
Soit dim V = 3 et {a
1
, a
2
, a
3
} une base de V . Soit f une application V ×
V → U , U quelconque et f bilin´eaire et altern´ee. Alors pour v =
P
i
λ
i
a
i
et w =
P
j
µ
j
a
j
: f(v, w) =
P
i
P
j
λ
i
µ
j
f(a
i
, a
j
). Comme f(a
i
, a
i
) = 0, et
f(a
i
, a
j
) = −f(a
j
, a
i
), on a que
f(v, w) = (λ
2
µ
3
−µ
2
λ
3
)·f(a
2
, a
3
)+(λ
1
µ
2
−µ
1
λ
2
)·f(a
1
, a
2
)+(λ
1
µ
3
−µ
1
λ
3
)·f(a
1
, a
3
).
On voit que U est au plus de dimension 3 (i.e. dans le cas o`u tous les f (a
i
, a
j
)
sont lin´eairement ind´ependants). Pour une fonction f particuli`ere, not´ee f(v, w) =
v ∧ w, on d´ecide que U est de dimension 3.
11
