Clément Galopin décembre 2014 – mars 2015
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-
Première partie : à propos de la mécanique analytique
1) L’expérience montre que la donnée simultanée des positions et des vitesses détermine
complètement l’état d’un système de points matériels. C’est un fait d’expérience.
2) Notion de coordonnées généralisées : la position d’un point matériel est donnée par autant de
coordonnées que ses degrés de libertés. Suivant les contraintes du mouvement (une charnière limite
les déplacements d’une porte, la masse d’un pendule est attachée à une ficelle, etc : autant de
limitations au mouvement des points matériels dans l’espace), la première coordonnée peut être une
longueur, la deuxième un angle, etc. On note les coordonnées généralisées indifféremment par
,
,… et les vitesses par
,
,… Pour alléger l’écriture, on note par et les vecteurs dont les
respectivement les
sont les coordonnées. Si le système compte degrés de liberté, ces vecteurs
ont chacun coordonnées. Ces fonctions dépendent du temps : et .
3) Les relations qui relient les accélérations d’une part aux coordonnées et aux vitesses d’autre part
sont appelées équations du mouvement.
4) L’équation du mouvement la plus générale est fournie par le principe dit de moindre action. Selon
ce principe, tout système mécanique est caractérisé par une fonction , dite fonction de
Lagrange du système, et le vecteur de coordonnées de chaque point matériel doit satisfaire
à ce que ladite intégrale d’action
ait la plus petite valeur possible (au moins
localement)
1
.
Ici les positions initiale et finale du point matériel sont supposées connues aux temps
et
, de
façon à pouvoir calculer l’intégrale. On connaît ainsi que les bornes d’intégration et c’est la fonction
qui est recherchée.
Cette façon particulière de procéder – minimiser une intégrale – n’est pas propre à la mécanique :
elle s’inscrit dans ce qu’on appelle le calcul variationnel (Euler). On procède ainsi de la même façon
pour déterminer la forme des bulles de savon ou alors pour résoudre le fameux problème du
brachistochrone : à chaque fois il s’agit de se donner une fonction et de trouver la fonction qui
minimise l’intégrale
. La fonction est bien sûr propre à chaque problème. Dans le cas
qui nous intéresse, la trajectoire d’un point matériel, s’appelle une fonction de Lagrange.
4 bis) On ne peut minimiser l’intégrale d’action – i.e. déterminer la trajectoire optimale du point
matériel – que si l’on connaît la valeur de cette intégrale aux bornes d’intégration
et
. Or ceci
signifie que les positions initiale et finale
et
du point matériel sont connues.
1
Pour avoir une compréhension qualitative du principe de moindre action, je conseille vivement la lecture du
(tout petit) texte du prix Nobel Richard Feynman: The Principle of Least Action. C’est un cours spécial (a special
lecture) inséré dans le célèbre cours de physique de ce sympathique génie largement reconnu pour ses
qualités didactiques.
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2
Dès lors, le principe de moindre action
2
a posé, au XVIIIe siècle, une difficulté d’ordre philosophique.
Affirmer que chaque point matériel se déplace de façon que l’intégrale d’action soit minimale signifie
en effet qu’il se déplace d’une position A à une position B exactement comme s’il savait par où
passer pour minimiser l’énergie de déplacement; mais alors cela signifierait que la position d’arrivée
B est d’une façon ou d’une autre déjà connue
3
au moment du départ. La question est simple :
« Comment le point matériel (ou Dieu, ou la Nature) sait-il où celui-ci doit aller ? ».
La solution de ce problème est de montrer
4
que le principe de moindre action est une propriété
émergeante, au sens où par exemple la couleur d’un objet procède de l’interaction de la lumière
avec les atomes de sa surface, sans qu’aucun de ces atomes ne possède de couleur en propre (un
atome ne peut avoir de couleur car il est bien plus petit que la longueur d’onde de la lumière visible).
La couleur d’un objet de carbone par exemple émerge de l’agencement des atomes et ne provient
pas des atomes eux-mêmes; le graphite est gris-noir tandis que le diamant est transparent bien que
leur composition chimique soit identique. De même qu’il existe une explication de l’émergence de la
couleur, il doit exister un mécanisme dont le principe de moindre action serait conséquence.
5
4 ter ) Le principe de moindre action demande donc à être dérivé d’un principe plus fondamental
dont il serait une conséquence, et qui ne présupposerait pas que les points matériels « sachent » où
aller de façon à optimiser l’énergie de leur déplacement. Lagrange fournit cette explication en
montrant que le principe de moindre action découle du principe de d’Alembert, qui affirme que la
somme des forces de contrainte (forces de soutien ou forces de tension d’une corde, par exemple)
ne modifie pas l’énergie d’un système mécanique, chose que l’on exprime ainsi (principe de
d’Alembert) :
Cette expression signifie que le travail des forces de contrainte
sur tout petit déplacement
est
globalement nul et ne contribue pas à la variation d’énergie totale du système mécanique. Lagrange
montre que le principe de moindre action en est une conséquence, rendant dès lors ce principe
pleinement acceptable.
2
Principe formulé initialement par Maupertuis, puis par Lagrange, la formulation ayant un peu évolué. Voir la
distinction que fait Maupertuis entre principe et loi physique, le principe étant ce à quoi se rattacher lorsqu’on
n’a pas (encore) de loi. Le statut épistémologique d’un principe au sein des sciences physiques est alors plus
discutable que celui d’une loi.
3
Comment connaître la trajectoire idéale autrement qu’à partir de l’intégrale d’action; mais alors la
connaissance des bornes
et
– et de
et
– est nécessaire. Sans se laisser aller à croire que la
Nature calculerait des intégrales d’action, comment alors expliquer ce prodige empiriquement constatable que
tout se comporte comme si c’était le cas ?
4
Dans son cours spécial « The Principle Of Least Action », Feynman procède autrement : grosso modo, il
explique que poser une condition (de minimalité d’une certaine grandeur associée) à un chemin considéré dans
son entier est équivalent à exiger qu’une certaine condition locale soit vérifiée en tout point du chemin.
5
Autre exemple de principe émergeant : la fameuse main invisible de Adam Smith (philosophe anglais du
XVIIIe, inventeur de la notion de valeur-travail en économie) : les agents économiques se comporteraient
collectivement de façon à optimiser le bien général, bien mieux que ne pourrait le faire une organisation
étatique centralisée; pourtant chacun des acteurs agit de façon à augmenter son propre profit sans tenir
compte des autres. Cette propriété de bienveillance du collectif des acteurs économiques émerge ainsi des
comportements égoïstes particuliers et il s’agit pour le théoricien de la pensée économique d’expliquer cette
émergence.
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5) Pour déterminer la fonction qui minimise l’intégrale d’action, on peut faire deux raisonnements
distincts.
5a) Puisqu’on ne sait pas trouver les extrema d’une fonction dont l’argument est une fonction
(problème 1) mais seulement ceux d’une fonction dont l‘argument est un nombre (problème 2), en
posant la dérivée nulle et en résolvant en l’argument, une première stratégie consiste à faire un
Ansatz sur la forme que doit avoir la fonction inconnue en posant que fait partie d’une famille de
fonctions paramétriques
, pour une fonction de perturbation
inconnue et à laquelle on ne s’intéresse pas autrement, puisque le paramètre recherché ne doit
pas dépendre de cette fonction . Le paramètre étant un nombre, cet Ansatz a la vertu de
ramener la résolution du problème 1 à celle du problème 2.
6
5b) On peut aussi s’attaquer directement au problème 1 en posant sans restriction à la généralité
que
, où
est la fonction qui minimise l’intégrale d’action et où est
une fonction telle que
.
On considère
7
que est un accroissement donné à , donc une fonction . Comme ,
l’accroissement est une fonction de
vers un ensemble ; on ne la note pas parce que
cela dénoterait la différentielle de , une forme linéaire définie sur l’espace tangent E à l’ensemble .
On pose que est l’intégrale d’action et on recherche la partie principale de l’accroissement
de , c’est-à-dire la partie linéaire en de .
Par le lemme du tube, on peut dériver sous l’intégrale
8
, et cela donne :
où est la matrice de la dérivée totale de ,
et
sont respectivement la dérivée partielle de
selon 1
er
et le 2
e
argument.
9
En remarquant que
, on peut intégrer le deuxième terme par
parties :
6
Toute perturbation n’a pas forcément la forme ; pourtant et bien étrangement, le supposer laisse
tout de même obtenir le résultat général recherché (voir Analysis 2, Konrad Königsberger).
7
Selon le formalisme du calcul des variations tel que présenté dans Analyse II, Laurent Schwarz.
8
Voir Analysis 2, Konrad KÖNIGSBERGER, page 35 dans la première édition.
9
est une notation légère signifiant
. Dans la notation légère, on se contente de faire
référence à l’argument par sa position (par l’indice 2), ce qui suppose que a été auparavant définie avec tous
ses arguments, tandis que dans la notation lourde on dénote l’argument en le définissant pour la circonstance
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Le premier terme de cette expression doit être nul puisque
. On obtient ainsi
l’équation
S’il y a s degrés de liberté, les s fonctions
doivent varier indépendamment et on a alors s
équations de la forme ci-dessus, formant ensemble un système de s équations différentielles du
second ordre à s fonctions inconnues
.
6) Il faut à présent déterminer la fonction de Lagrange . Cette fonction dépend a priori du système
de coordonnées des positions et suivant quel système de coordonnées on choisit, peut prendre
une forme très compliquée même pour un système mécanique très simple. Supposons qu’il existe un
système de coordonnées dans lequel les lois du mouvement ne dépendent ni du temps
10
, ni de la
position du système de points en entier, ni de son orientation dans l’espace (qui donc est supposé
homogène et isotrope). Dans un tel système de coordonnées, ne pourrait que dépendre de la
norme de la vitesse (mais pas de sa direction), donc ne dépendre que de
et on aurait
.
7) En raison de l’indépendance de par rapport à la position, on aurait dans ce cas que
. En
tenant en outre compte du fait que et que donc
, on aurait même que
constante par rapport au temps. Mais comme n’est fonction que de la vitesse, celle-ci doit
également être constante par rapport au temps.
8) Dans un tel système de coordonnées dans lequel les lois du mouvement sont homogènes et
isotropes, tout mouvement libre de contrainte s’effectue ainsi avec une vitesse constante en
grandeur et en direction. Un tel système de coordonnées s’appelle un référentiel galiléen et cette
affirmation constitue ce qu’on appelle la loi d’inertie.
9) Il est toujours possible de trouver un tel référentiel galiléen. Et tout autre référentiel animé d’un
mouvement rectiligne et uniforme par rapport à celui-ci est également un référentiel galiléen, si bien
qu’il en existe une infinité. Le principe de relativité de Galilée affirme que les lois du mouvement ont
la même forme dans chacun de ces référentiels si bien qu’aucun n’est préférable par rapport aux
autres.
10) Deux fonctions de Lagrange qui ne diffèrent que par l’addition d’une dérivée totale par rapport
au temps donnent les mêmes équations du mouvement et donc les mêmes solutions. De cette façon,
(au moyen des lettres a, b et c). C’est la notation adoptée par les calculateurs de Texas Instrument (TI 89 par
exemple). Les physiciens utilisent à tout bout de champ l’expression équivalente
. Comparée à celle-ci, la
notation de Texas Instrument a l’avantage d’être claire quant à l’ordre des opérations : d’abord on dérive par
rapport à puis seulement ensuite on substitue dans le résultat de la dérivation par .
10
Le mot « temps » peut signifier une durée ou une position temporelle; c’est dans cette seconde signification
qu’il faut comprendre la phrase, qui invite ainsi à considérer que le système mécanique se comporte
indépendamment du choix de l’origine de l’axe du temps, un décalage temporel ne changeant rien à l’affaire.
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la fonction de Lagrange d’un système mécanique n’est déterminée qu’à la dérivée totale par rapport
au temps d’une fonction quelconque des coordonnées et du temps près.
11) On cherche maintenant à préciser la dépendance, dans un référentiel galiléen, de la fonction de
Lagrange d’un point matériel par rapport au carré de sa vitesse . Si un référentiel galiléen K se
déplace par rapport à un autre référentiel galiléen G avec une vitesse infinitésimale , la vitesse du
point matériel est de (somme vectorielle) . Soient
et
les fonctions de Lagrange par
rapport à K, respectivement G.
Par le principe de relativité,
et
doivent conduire aux mêmes équations du mouvement et c’est
le cas si et seulement si
et
ne différent que par l’ajout de la dérivée totale par rapport au
temps d’une fonction des coordonnées et du temps. Comment doit être
pour satisfaire au
principe de relativité ?
En développant cette expression en série de Taylor jusqu’au terme linéaire, on obtient
Or le deuxième terme du membre de droite de cette égalité est une dérivée totale par rapport au
temps si
est une fonction linéaire en
: on reconnaît que dans ce cas-là est la dérivée
intérieure de
par rapport à .
Mais si
est une fonction linéaire en
, alors
ne dépend pas de
. On a que
pourune constante
Du fait que sous cette forme la fonction de Lagrange satisfait au principe de relativité de Galilée dans
le cas d’une transformation infiniment petite de la vitesse, il résulte immédiatement que la fonction
de Lagrange est également invariante pour une vitesse finie du référentiel G par rapport au
référentiel K.
12) On désigne la constante par , de sorte que finalement, la fonction de Lagrange d’un point
matériel en mouvement libre s’écrit
La grandeur est appelée masse du point matériel. La fonction de Lagrange étant additive, on a,
pour un système de points ne réagissant pas les uns sur les autres, que
13) Qu’en est-il d’un système de points matériels réagissant les uns sur les autres, mais ne subissant
aucune influence extérieure au système (système dit fermé) ? On décrit l’interaction des points
matériels en ajoutant à la fonction de Lagrange, valable pour des points libres, une fonction des
coordonnées, fonction qu’on appelle . On a que
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où
est le vecteur rayon du i
ème
point, en coordonnées cartésiennes. Avec des coordonnées
généralisées
, … on n’aurait probablement pas affaire avec un référentiel galiléen, seul
garantissant l’homogénéité et l’isotropie de l’espace des phases. C’est pourquoi on suppose que les
coordonnées sont cartésiennes et non généralisées.
14) En fait, il est difficile de s’imaginer d’autres coordonnées que les coordonnées cartésiennes qui
garantissent également l’homogénéité de l’espace des phases. Les coordonnées cylindriques ou les
coordonnées sphériques notamment ne le garantissent pas, comme le montre la réflexion suivante :
Considérons le mouvement d’un point matériel dans un plan, décrit par des coordonnées polaires et
qui bouge à vitesse généralisée constante
. Sa trajectoire est alors un bout de spirale
centrée en l’origine du système de coordonnées polaires et nous comprenons qu’un tel mouvement,
s’il est constant en vitesse généralisée, correspond à une accélération en coordonnées cartésiennes,
car à mesure que le rayon grandit et que l’angle augmente à vitesse constante, la trajectoire du point
matériel balaie une distance toujours plus grande. Un tel système n’est donc pas homogène puisque
un point matériel situé plus loin de l’origine qu’un autre se comporte différemment malgré le fait
que tous deux possèdent la même vitesse généralisée. Et ceci du seul fait de sa position plus éloignée
de l’origine, preuve de l’inhomogénéité de l’espace des phases associé aux coordonnées polaires. En
fait, dès qu’un système de coordonnées contient un angle, il ne garantit plus l’homogénéité de
l’espace des phases associé.
15) Dans l’expression du Lagrangien donnée ci-dessus,
est appelée énergie cinétique
et énergie potentielle du système. Nous motivons cette définition dans la suite.
16) La fonction dépend uniquement de la distribution des points matériels à chaque instant. Ceci a
pour conséquence qu’un changement de position d’un des points se répercute instantanément sur
tous les autres, de sorte que l’interaction se propage instantanément. Ceci est une conséquence
forcée de l’existence postulée d’un temps absolu et du principe de relativité de Galilée. Si
l’interaction se propageait non pas instantanément mais avec une vitesse finie, elle ne serait pas la
même pour tous les référentiels galiléens en mouvement les uns par rapport aux autres. En effet,
l’existence d’un temps absolu entraîne que la règle de composition des vitesses est applicable à tous
les phénomènes. Mais alors les lois du mouvement seraient différentes dans différents référentiels
galiléens, ce qui contredirait le principe de relativité.
17) Cette approche
11
introductive au Lagrangien entend définir sur la base de considérations
fondamentales comme celle qui permet de comprendre que ne dépend que du carré de la vitesse.
Elle a le grand mérite de créer du sens, en mettant en relation de nécessité les notions
fondamentales du principe de relativité, de l’isotropie de l’espace et de la loi d’inertie (et
indirectement aussi de la notion de force, en tant que la variation de l’inertie d’un corps, i.e. de sa
quantité de mouvement) ainsi que la notion de temps absolu.
11
C’est l’approche proposée par Lev Davidovitch LANDAU dans ses très célèbres cours de physique.
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Quant à savoir si la démarche de Lagrange a bien été celle-là, nous pourrions par contre en douter
car il est probable que Lagrange ait posé dès le début que devait être l’énergie cinétique moins
l’énergie potentielle. Qu’en est-il historiquement, du point de vue de la genèse des idées ?
18) Il est certes tout à fait possible et intéressant d’en débattre ; nous avons cependant meilleur
temps de considérer que nous ignorons tout à fait ce qu’est l’énergie mécanique et d’essayer de la
définir comme un invariant du système de points matériels. De cette façon nous pouvons en effet
déduire – et non pas deviner à partir de considérations historiques – que la fonction de Lagrange doit
être ce qu’elle est, à savoir l’énergie cinétique moins (et non plus) l’énergie potentielle. Nous
souhaitons fonder la notion d’énergie sur celle, conceptuellement plus fondamentale, d’invariant
d’un système mécanique.
19) Reprenons depuis le début. Nous nous donnons un système mécanique de points matériels
dont nous connaissons les positions de départs et les vitesses de départ – c’est-à-dire,
respectivement, les valeurs des fonctions coordonnées généralisées au temps
– ainsi que leurs
dérivées en
. Notre but est de déterminer les fonctions coordonnées généralisées
,
. Comment faisons-nous cela ?
Tout d’abord nous changeons de système de coordonnées, et passons des coordonnées généralisées
aux coordonnées cartésiennes. Ainsi sommes-nous certains que pour ce système de coordonnées,
l’espace et le temps sont homogènes et l’espace est isotrope. Soit la dimension de l’espace des
phases et le nombre de points matériels du système. Nous calculons pour chaque point
, où
l’indice parcourt les points matériels, les fonctions de changement de coordonnées
,
et
telles que
et
et
et
L’équation de Lagrange
devient ainsi
où les
sont des fonctions qui ne dépendent que des coordonnées. Pour mieux saisir cette
formule, nous regardons seulement ce que devient l’expression du carré de la vitesse du point
:
Nous posons que
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et nous calculons :
Nous voyons que cette somme est formée de multiples de
et de multiples de
. Ces
termes se laissent regrouper et ainsi de leurs facteurs, qui regroupés donnent les fonctions
.
20) Exemple du pendule simple : L’angle que la ficelle tendue du pendule forme avec la verticale est
, la masse oscillante accrochée à son extrémité est et la longueur de la ficelle est :
L’énergie potentielle est donnée quant à elle par le produit de , de et de la hauteur :
Calcul de la fonction de Lagrange en fonction de la coordonnée généralisée :
Le nombre de degrés de liberté du système étant 1, il faut résoudre une seule équation de Lagrange :
En vertu du fait que pour un angle petit, , la dernière équation s’écrit :
Cette équation différentielle est une équation linéaire homogène du deuxième degré à coefficients
constants; on la résout en annulant son polynôme caractéristique.
Nous disposons maintenant d’un premier exemple trivial, qui est celui du pendule simple. Un autre
exemple plus complexe peut consister en un système de balanciers : un balancier est une tige de
masse négligeable qui peut tourner autour d’un axe et qui porte une masse à chacune de ses
extrêmités, à la façon d’un haltère. Un tel système peut avoir un mouvement (quasi ?) chaotique qu’il
serait intéressant de simuler par ordinateur.
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21) La détermination des positions des points matériels d’un système mécanique en fonction du
temps passe par la résolution d’un système d’équations différentielles. Pour chaque point matériel
, il faut résoudre un système de équations – étant le nombre de degrés de liberté – du
deuxième degré et ceci présuppose la donnée de constantes, généralement les coordonnées
généralisées de la position du point matériel
en un moment
et les vitesses généralisées au
même moment. Du strict point de vue de la résolution mathématique du système, ces constantes
peuvent néanmoins être choisies arbitrairement.
Chacune de ces constantes s’appelle une intégrale première. Cependant, toutes les intégrales
premières sont loin de jouer un rôle d’égale importance en mécanique. Il en est parmi elles dont la
constance à une origine profonde, liée aux propriétés fondamentales de l’espace et du temps, c’est-
à-dire à leur uniformité et à leur isotropie.
22) Le choix de l’origine de l’axe temporel ne joue aucun rôle et nous parlons dans ce contexte de
l’homogénéité du temps. De ce fait nous pouvons choisir le temps comme l’une parmi les
constantes arbitraires. En raison de cette uniformité du temps, la fonction de Lagrange ne peut
dépendre explicitement du temps, état de chose que nous exprimons par
. Nous
calculons la dérivée totale de
et utilisons l’équation de Lagrange
pour écrire
et, de là, obtenir
constante
Cette quantité constante dans le temps est appelée l’energie du système et se note . C’est la plus
importante des intégrales premières. Nous posons donc que
La loi de conservation de l’énergie est non seulement valable pour les systèmes fermés mais aussi
pour les systèmes placés dans un champ extérieur constant. En effet, la seule propriété de la fonction
de Lagrange que nous avons exploitée est le fait que qu’elle ne dépende pas du temps
explicitement et cette propriété reste inchangée dans un tel champ.
La raison pour laquelle nous avons précédemment posé que est l’énergie cinétique moins l’énergie
potentielle est que si nous calculons avec un tel , nous obtenons que l’énergie est la somme de
l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle. Nous pourrions faire le raisonnement dans le bon sens
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et poser que est cette somme et en déduire la forme de la fonction de Lagrange. Un raisonnement
à faire à l’occasion.
23) La conservation de la quantité de mouvement, ou impulsion, s’obtient quant à elle en
considérant que l’espace est homogène, de façon analogue au raisonnement précédent.
L’homogénéité de l’espace signifie que si l’on décale parallèlement d’un vecteur chaque point du
système mécanique, la fonction de Lagrange reste inchangée et que donc la linéarisation en de
sa variation vaut . Pour un système de points matériels, cette variation est donnée par
où, de par le fait qu’il y a points matériels, est un vecteur de dimension et les expressions de la
dérivée
et celle de l’accroissement sont des expressions vectorielles de dimension ,
respectivement
et
. La somme en est leur produit scalaire. Et puisque le déplacement
de chaque point est le même (déplacement parallèle de tout le système selon le vecteur ), on a au
final que
En raison du fait que le choix de (la direction de) est arbitraire, on doit avoir que
En utilisant l’équation de Lagrange, on a que
si bien que la quantité
est constante. Il s’agit de l’impulsion ou de la quantité de mouvement (généralisée) du système. En
reprenant l’écriture vectorielle, on a que
Stricto sensu, on a affaire ici à un vecteur et les deux expressions de ne sont pas égales, mais bon...
On reverra Königsberger, Analysis 2 pour ce cas de dérivation par un vecteur et les conventions
d’écriture y afférentes.
Dans le cas où
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avec les coordonnées cartésiennes, , et l’on retrouve, en dérivant selon , l’expression bien
connue de la quantité de mouvement .
24) En considérant que l’espace est isotrope, nous obtenons la conservation du moment cinétique. Il
faut cette fois travailler en coordonnées polaires et considérer une rotation d’un petit angle (une
rotation pure, c’est-à-dire à rayon constant). Nous renvoyons au livre Physique théorique.
Mécanique, de Lev D. Laudau aux éditions Ellipse, pour ces développements fondamentaux.
Avec la notion de moment cinétique, la suite d’un cours de mécanique peut dès lors traiter du cas
des corps solides et non plus seulement des points matériels qui sont sans dimension (voir également
le livre de Laudau).
Si nous désirons parler ensuite un peu de physique quantique, il est souhaitable d’introduire la
notion de Hamiltonien d’un système mécanique.
25) La mécanique lagrangienne demande de connaître les coordonnées et les vitesses généralisées
de chaque point du système afin de disposer des arguments que le lagrangien
nécessite. A
la place de ces deux variables et , on peut pourtant préférer travailler avec une autre paire de
variables afin de décrire le même système mécanique. Il existe une transformation mathématique
qui permet justement d’exprimer une fonction de deux variables par rapport à deux autres variables
de façon équivalente : il s’agit de la transformation de Legendre, que nous voyons ci-dessous en
détails. Hamilton appliqua cette transformation de Legendre au lagrangien de façon à obtenir une
nouvelle fonction équivalente au lagrangien mais dépendante non pas de et mais de et
.
L’un des avantages de cette nouvelle fonction, appelée l’hamiltonien du système, est que
les équations du mouvement qui en découlent sont des équations différentielles très simples du
premier degré, tandis que les équations du mouvement obtenues à partir du lagrangien sont des
équations du deuxième degré un peu plus difficiles à résoudre. Le prix à payer pour cet avantage est
cependant que le nombre des équations hamiltoniennes est le double de celui des équations
lagrangiennes.
26) La transformation dite de Legendre trouve sa motivation dans la relation qui existe entre une
famille de droites d’une part et son enveloppe de l’autre.
Ci-contre, le graphe de la fonction
est
l’enveloppe de la famille des droites de la
forme
pour le paramètre
. On comprend qu’il
existe une bijection entre cet ensemble de
droites et la fonction
. Précisons cette
bijection.
Mais commençons par remarquer que s’il s’était agi
non pas de
mais d’une fonction non convexe, l’enveloppe de la famille de ses tangentes
n’aurait pas été égale à son graphe. La convexité de la fonction semble donc jouer un rôle.
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27) Une façon de représenter une fonction convexe comme
est d'utiliser la dérivée de la fonction. On se donne
une droite de pente pour laquelle on va chercher le point
où la droite est tangente à la courbe de la fonction. On
repère l'ordonnée où la droite croise l'axe des . Etant
donnée la fonction convexe , à chaque valeur de
correspond une valeur de , ce que l'on peut noter par
. La fonction est appelée la transformée de Legendre de
la fonction .
A chaque point
correspond un point et vice-verça.
La courbe constituée des points porte exactement la même information que la courbe
constituée des points . Et puisque la première de ces courbes est le graphe de la fonction et
que la seconde est celui de la fonction , cela veut dire que si nous connaissons , nous pouvons
déduire la fonction et réciproquement. La transformation de Legendre est ainsi une transformation
bijective entre deux espaces de fonctions.
Remarquons que les grandeurs et sont de même dimension ( et se situent sur un même axe,
voir schéma), tandis que et sont des grandeurs de natures différentes. La droite tangente en
est donnée par
et on obtient en posant :
Quant à la pente , on a
si bien que, puisque ,
Connaître u est équivalent à connaître f.
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Deuxième partie : à propos de la physique ondulatoire
L’induction électromagnétique
1) Un prérequis mathématique : La notion de produit mixte. Il s’agit du produit défini par
, qui donne le volume (signé) du parallélépipède engendré par des trois vecteurs. Il y a les
règles de calcul suivantes :
- Pas de changement pour une permutation cyclique des 3 vecteurs :
,
- changement de signe lors de l’échange de 2 vecteurs :
.
2) Nous rappelons le théorème de Gauss : le flux magnétique à travers toute surface fermée est nul.
3) Nous nous donnons l’expression de la force de Lorentz, de celle de la force en fonction du champ
électrique ainsi que celle de la force électromotrice (f.é.m.) dans un circuit :
(force de Lorentz)
f.é.m.
(travail par unité de charge).
Nous considérons ensuite un aimant fixe et une boucle métallique fermée, inscrite dans un plan
perpendiculaire à l’axe N-S de l’aimant (voir schéma), qui s’en approche à une vitesse . Du fait que
la boucle est en mouvement dans un champ magnétique, les électrons dans la boucle subissent une
force de Lorentz (1) qui les met en mouvement dans la boucle selon la règle du tire-bouchon. La
f.é.m. ainsi engendrée s’obtient en posant égales les forces (1) et (2) puis en isolant l’expression de
dans l’équation ainsi obtenue et en la substituant dans (3) :
f.é.m.
4) Nous imaginons que le milieu dans lequel cette
boucle avance n’est pas de l’air mais du beurre;
dans ce cas, la boucle y découperait un cylindre Le mouvement d’une boucle fermée en direction d’un
à la façon d’un fil à couper le beurre. Ce que nous aimant engendre un courant dans celle-ci, tandis
voulons calculer (voir schéma ci-contre), c’est le que ce mouvement de translation de la boucle découpe
flux magnétique à travers cette surface cylindrique un cylindre dans l’espace. En gris sur le cylindre est re-
coupée par la boucle du fait qu’elle avance à la vites- présenté un élément de surface
et la flèche partant
se durant un temps infinitésimal , c’est-à-dire de cet élément grisé indique qu’il est un élément
suivant une translation de vecteur de longueur infini- vectoriel orienté vers l’extérieur du cylindre (qu’on
tésimale .Pour cette raison, nous parlerons du imagine de ce fait fermé de côté, de façon à pouvoir
flux coupé, que nous noterons non pas
mais
parler d’intérieur et d’extérieur du cylindre).
puisqu’il s’agit un élément de flux infinitésimal (en raison du ).
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Nous remarquons d’ailleurs que le cylindre ainsi coupé ne délimite pas une surface fermée : il
manque en effet les deux disques de bord. Pour appliquer le théorème de Gauss sur le flux
magnétique, il faudra donc aussi considérer, en plus du flux coupé, le flux au travers de ces deux
disques de bord.
Pour le calcul du flux coupé, nous remarquons qu’un élément de surface
est égal
12
à
et
donc que :
Nous reconnaissons que l’intégrande est le produit mixe
, dont nous savons qu’une
permutation cyclique des 3 arguments ne change pas la valeur :
et qu’en
général, la valeur est modifiée en se faisant multiplier par le signe de la permutation. De là,
f.é.m.
f.é.m.
5) En pratique, nous avons une boucle dont nous connaissons les dimensions et dont nous savons la
direction et la norme de la vitesse de translation. Et puis nous connaissons le champ magnétique,
rien de plus. Le flux coupé n’est pas une grandeur que l’on peut calculer facilement à partir de ces
données-ci. En fait, ce n’est pas autre chose qu’une grandeur qui intervient dans nos raisonnements
de manière auxiliaire et que nous devons exprimer au moyen d’une grandeur beaucoup plus
facilement déterminable, à savoir le flux à travers le disque dont la boucle est le bord.
6) Le lien entre les deux flux de bord du cylindre et le flux coupé est que, selon Gauss, la somme de
ces trois flux vaut zéro. Pourtant, parmi ces trois grandeurs, une seule est mesurable concrètement,
les deux autres ne s’en distinguant seulement par la pensée pour ainsi dire, puisque de façon
infinitésimale : les deux disques de bords sont proches l’un de l’autre de la distance infinitésimale
et le flux coupé est pour cette raison également une grandeur infinitésimale.
C’est pourquoi il est nécessaire d’exprimer ces trois flux en fonction d’un seul des deux flux de bord.
La grandeur du flux coupé se laisserait alors exprimer, via le théorème de Gauss pour le flux
magnétique, en fonction des deux flux de bord.
Mais si nous connaissons le flux au travers d’un des deux disques de bord du cylindre, comment
exprimer le flux au travers de l’autre disque de bord ? C’est cela que nous devons trouver
précisément.
7) Soit
le flux magnétique au travers du disque dont le bord est la boucle fermée
lorsque que cette boucle se trouve au tout début de son avancée vers l’aimant (voir dessin).
12
Ceci de façon que, par choix, l’élément de surface
sur le dessin pointe vers l’extérieur du cylindre mais,
bien sûr, poser
irait tout aussi bien et
pointerait alors vers l’intérieur. Le point important
étant que, une fois l’orientaton choisie, il faut s’y tenir jusqu’à la fin du raisonnement.
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Ce disque avance vers l’aimant à la vitesse et c’est
pourquoi le flux qui le traverse est une fonction du
temps, dépendance que nous exprimons en écrivant
.
Soit l’instant où la boucle se trouve au bord gauche
du cylindre sur le dessin. Ce sera pour nous l’instant
du début de l’avancée de la boucle vers l’aimant.
De plus nous faisons le choix qu’un élément de surface pointe vers l’extérieur du cylindre fermé,
comme il est possible de le voir sur le dessin. De cette façon, la surface fermée consistant en la mise
bout à bout du cylindre coupé, du disque gauche et du disque droit est bien une surface orientée
13
,
condition pour que s’applique le théorème de Gauss pour le flux magnétique.
Le flux dépend du champ magnétique, et notamment du fait que la boucle s’avance vers le pôle nord
ou vers le pôle sud. Dans le premier cas, les lignes de champ magnétique sortent de l’aimant et leur
produit scalaire avec un élément de surface du disque de bord gauche (voir dessin) est positif, dans le
second cas ce produit scalaire, et donc le flux
, est négatif.
Si le flux au travers du bord de gauche (selon dessin) est
, grandeur pouvant être soit positive
soit négative, alors le flux au travers du bord de droite est
, le signe négatif exprimant le
fait que le vecteur de la surface du bord de droite doit lui aussi pointer vers l’extérieur. Selon Gauss :
f.é.m.
f.é.m.
f.é.m.
Cette dernière formule affirme que la force électromotrice engendrée dans la boucle en mouvement
est égale à l’opposé de la variation du flux magnétique à travers elle. Ce résultat est ce qu’on appelle
la loi de Faraday.
8) Mais que se passe-t-il si c’est la boucle qui est fixe et l’aimant qui se déplace ? Nous devrions bien
sûr observer la même f.é.m. Si pourtant la vitesse de translation de la boucle est nulle, alors la
vitesse des charges dans la boucle est aussi nulle et la force de Lorentz qui s’y applique est de ce fait
également nulle. Ce qui nous fait conclure qu’il n’y a dans ce cas aucune f.é.m. dans la boucle.
Ce résultat n’est pas acceptable car il contredit l’évidence et contrevient au principe de relativité de
Galilée. Comment, dès lors, résoudre cette difficulté, qui est en fait celle de toute force qui dépend
de la vitesse ? Dans tous les référentiels galiléens, la physique doit en effet être la même et ne pas
dépendre de la vitesse du référentiel.
9) La solution est de déclarer que c’est la variation du champ magnétique (due au mouvement de
l’aimant par rapport à la boucle fixe) qui crée un champ électrique
dans la boucle, à même de
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Une surface orientée, bien sûr au sens de l’analyse vectorielle : ou bien tous les vecteurs de surface pointent
vers l’extérieur, ou bien tous pointent vers l’intérieur de la surface cylindrique fermée.
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mettre en mouvement les électrons de façon à fournir exactement la même f.é.m. que dans le cas où
c’est l’aimant qui est fixe et la boucle qui avance, c’est-à-dire de façon que :
Nous disons que
est le champ électrique induit par la variation du champ magnétique
.
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10) L’équation ci-dessus est une égalité entre d’une part une intégrale le long d’une boucle et d’autre
part une intégrale sur une surface. Il existe un moyen de se débarrasser de ces intégrales en faisant
en sorte d’avoir de part et d’autre de l’égalité une seule et même intégrale (avec les mêmes bornes
d’intégration de part et d’autre de l’égalité), en l’occurrence ici, une intégrale de surface. Le
théorème de Stokes nous permet en effet d’écrire que :
Cette relation de Stokes nous permet d’obtenir une égalité de la forme
, dont on sait que
si elle doit être vraie pour tout choix de bornes, on a nécessairement que (ce sont deux
fonctions continues) :
De là, nous obtenons l’une des quatre équations de Maxwell :
équation de Maxwell-Faraday
Un commentaire concernant l’égalité
. L’expression du flux
ne
dépend que du temps mais le champ magnétique
est une fonction de plusieurs variables en plus
du temps. C’est pourquoi on a à gauche de l’égalité une dérivée totale
et à droite une dérivée
partielle
. Ce n’est pas une faute.
11) Lorsque
, c’est que le champ électrique
varie. Or
est un vecteur
tridimensionnel. En termes de variation de
, que signifie le fait que
soit égal à un certain
vecteur donné ?
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Cette force électromotrice induite est ainsi une pseudo-force générée par le fait que la force de Lorenz
dépende d’une grandeur dépendante du choix d’un référentiel, à savoir la vitesse de la boucle s’approchant de
l’aimant.
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Etablissement de l’équation des ondes
1) Qu’est-ce qu’une onde ?
On se donne un milieu élastique. Elastique au sens où chaque élément (particule) de ce milieu subit
une force de rappel qui le ramène à une certaine position dite d’équilibre s’il devait d’en éloigner.
Une onde est le déplacement ou la propagation
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d’une déformation locale –on parle aussi d’une
perturbation– d’un tel milieu dans lui-même.
On distingue entre les ondes longitudinales et les ondes transversales. Dans le premier cas, la
perturbation se fait dans la direction de propagation de l’onde. Typiquement, ce sont les ondes de
pression telles les ondes sonores. Dans le second cas, la perturbation se fait dans une direction
perpendiculaire à celle de la propagation de l’onde. Typiquement, ce sont les ondes de vibration
d’une corde d’instrument de musique (Dans ce cas, ces ondes sont, de surcroît, stationnaires puisque
les deux bouts de la corde sont fixés, mais nous ne traiterons pas ici de la notion de stationnarité
d’une onde transversale car cela dépasse le cadre de notre propos immédiat et n’est pas du tout
quelque chose de trivial).
2) Le cas d’une onde transversale se déplaçant le long d’une corde. Pour un temps fixé, la
déformation perpendiculaire à la corde se laisse donner, pour tout point du milieu unidimensionnel
qu’est la corde, par une fonction . En effet, tout se passe sur les deux axes perpendiculaires,
celui donnant la propagation de l’onde et celui donnant la propagation de la perturbation. Le premier
axe sera (sans restriction à la généralité) l’abscisse, portant les valeurs de , et le second axe sera
l’ordonnée, portant les valeurs de x. On exprime le fait que cette déformation avance à la vitesse
dans le sens de l’axe des en définissant la fonction du temps
.
Une avancée dans le sens opposé se donne par la fonction
.
La fonction du temps donne ainsi le déplacement transversal à la corde d’un point
donné sur la corde, en raison du passage de l’onde. Quant à la fonction de la position
, elle donne la forme de la déformation à un instant donné.
Une fonction à deux arguments est une fonction d’onde de vitesse . Comment
l’établir ? Il faut essayer de modéliser ce qui se passe sur la corde au moment du passage de l’onde.
a) Notre modèle doit décrire quantitativement les éléments constitutifs d’une onde
transversale : le modèle est une description dans un plan, donné par les deux axes de
propagation.
b) Notre modèle doit quantifier la force de rappel que subit le milieu déformé, et ceci bien sûr à
partir de considérations géométriques à partir de la forme de la déformation.
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Dans la notion de propagation, il y a celle de diffusion dans le milieu. Une onde planaire à la surface d’un
étang se propage en cercles concentriques pour finir par disparaître complétement. Pour autant, il ne s’agit pas
de vibrations amorties mais d’une diffusion de la déformation initiale dans le milieu, les fronts d’onde
circulaires devenant toujours plus grands à mesure qu’ils s’éloignent de leur centre.
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3) Etablissement de la vitesse d’une onde
transversale le long d’une corde tendue
Le grand truc ici est de voir ce qui se passe d’un
point de vue physique, car ce n’est pas intuitif :
Il s’agit de reconnaître un mouvement circulaire
uniformément accéléré dans le schéma ci-contre.
Ce n’est pas évident, car aucun segment de corde
ne parcourt un quelconque arc de cercle, mais bouge
uniquement de bas en haut, un peu à la façon d’un bou-
chon sur une vague, qui fait du sur-place sur l’axe horizontal.
Mais si l’on considère un référentiel qui suit l’onde en bougeant avec elle à la même vitesse, alors
tout segment parcourt un petit arc de cercle et l’on y reconnaît un mouvement circulaire.
Le segment (en double trait gras) est tendu par une force de tension
à gauche et à droite (le
schéma ne montre que le vecteur de droite). La norme de la composante verticale de
est
, où est de moitié de l’angle qui sous-tend l’arc de cercle du segment , si bien que la
norme de la force centripète que subit est
Dans la mesure où est infinitésimal, on a que , si bien que l’on peut admettre que
D’autre part,
est une force centripète et on peut donc écrire que, pour la masse du
segment ,
En posant que , avec la masse linéique de la corde, on peut substituer dans l’équation
ci-dessus et obtenir que
On observe que (lorsque l’angle est mesuré en radians)
si bien que l’équation devient
La vitesse de l’onde est ainsi donnée par
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4) L’équation des ondes
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: établissement de l’équation des ondes pour une onde non plus
transversale mais longitudinale, cette fois, se déplaçant le long d’un ressort en spirale. Une onde de
pression telle le son.
On s’imagine une lignée de petites masses m interconnectées par des ressorts sans masse de
longueur h. La constante de rappel (se souvenir de la loi de Hook sur les ressorts) des ressorts est k.
Ici, mesure la distance à l’équilibre de la masse en , c’est-à-dire l’amplitude de la perturbation
(qui, rappelons-le, est parallèle à la direction de déplacement de l’onde). Les forces exercées sur m à
la position sont
Or la loi de Hook nous dit que
si bien que, en posant égales ces deux forces :
Supposons que sur la longueur totale il se trouve masses équidistantes d’une distance de
et supposons que la constante des ressorts soit puis posons que . Alors
En prenant la limite de cette expression pour et :
C’est l’équation des ondes recherchée. Toute fonction d’onde
satisfait à cette équation et
réciproquement : toute fonction
satisfaisant à cette équation est une fonction d’onde.
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Ne pas confondre avec la fameuse « l’équation d’ondes », terme qui fait référence à l’équation de
Schrödinger, une toute autre histoire.
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Application : établissement de la vitesse de la lumière
